Para a in R+^*, temos que a=e^ln (a) e portanto a^r=e^r ln (a) para todo número racional r (vide 4(c) ). Assim, para qualquer número real x definimos a^x:=e^x ln (a). A função exponencial de base a
exp a: R R+^*, exp a(x)=a^x
Mostre forall a, b>0 e forall x, y in R que:
(b) a^x+y=a^x a^y .

Passo 1

O enunciado define a função exponencial de base a>0 por \r
expa(x)=a^x:=e^xln(a) \r
e pede para mostrar que, para quaisquer x,yinR, vale \r
;a^x+y=a^x,a^y

Passo 2

Começamos aplicando diretamente a definição a x+y: \r
a^x+y = e^(x+y)ln(a)

Passo 3

Usamos a propriedade distributiva do produto sobre a soma e a regra da exponencial: \r
(x+y)ln(a)=xln(a)+yln(a),
e^xln(a)+yln(a) = e^xln(a),e^yln(a)

Passo 4

Reconhecendo cada fator como potência de base a:
e^xln(a)=a^x, e^yln(a)=a^y,
segue-se que
a^x+y=a^x,a^y

Resposta

a^x+y=a^xa^y

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