Para a in R+^*, temos que a=e^ln (a) e portanto a^r=e^r ln (a) para todo número racional r (vide 4(c) ). Assim, para qualquer número real x definimos a^x:=e^x ln (a). A função exponencial de base a
exp a: R R+^*, exp a(x)=a^x
Mostre forall a, b>0 e forall x, y in R que:
(c) a^x-y=a^xa^y .

Passo 1

O enunciado quer mostrar a propriedade de potências
a^x-y=a^xa^y
para a>0 e x,yinR. Vamos usar a definição
a^u=e^uln(a)
e a regra de que a exponencial transforma soma e subtração em produto e divisão.

Passo 2

Pela definição,
a^x - y = e^(x - y)ln(a)

Passo 3

Como a exponencial separa diferenças em quocientes, escrevemos
e^(x - y)ln(a) = e^xln(a) - yln(a) = e^xln(a),e^-,yln(a)

Passo 4

Mas e^-,yln(a) = 1/e^yln(a), logo
a^x-y = e^xln(a)e^yln(a) = a^xa^y

Resposta

a^x-y=a^xa^y

Exercícios relacionados