Para a in R+^*, temos que a=e^ln (a) e portanto a^r=e^r ln (a) para todo número racional r (vide 4(c) ). Assim, para qualquer número real x definimos a^x:=e^x ln (a). A função exponencial de base a
exp a: R R+^*, exp a(x)=a^x
Mostre forall a, b>0 e forall x, y in R que:
(d) (a^x)^y=a^x y .

Passo 1

O enunciado define, para a>0, a função exponencial de base a por
a^x := e^xln(a), xinR
Queremos mostrar a propriedade
l(a^xr)^y = a^xy forall,x,yinR

Passo 2

Começamos aplicando a definição ao expoente exterior:
l(a^xr)^y = e^,ylnl(a^xr)

Passo 3

Dentro do logaritmo, usamos que a^x=e^xln(a), logo
lnl(a^xr) =lnl(e^xln(a)r) = xln(a),
pois ln e e^(cdot) são funções inversas.

Passo 4

Substituindo ln(a^x)=xln(a) em l(a^xr)^y=e^yln(a^x) obtém-se
l(a^xr)^y = e^,yl(xln(a)r) = e^,x yln(a)

Passo 5

Pela definição de potência real, e^xyln(a)=a^xy. Portanto
l(a^xr)^y=a^xy

Resposta

boxedl(a^xr)^y=a^xy,forall,a>0,;x,yinR

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