Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para usar o teste da integral, cujo conteúdo é: se é contínua, positiva e decrescente para
, então
e pede para usar o teste da integral, cujo conteúdo é: se
converge se, e somente se,
converge.
Passo 2
Definimos
Para
, temos
, logo
. A derivada
mostra que
é decrescente. E
é obviamente contínua em
. Portanto podemos aplicar o teste da integral.
Passo 3
Calculamos
Fazendo a substituição
, temos
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim, para
,
Tomando o limite
, o termo
, de modo que
que é finito.
Passo 4
Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
também converge.
também converge.
Resposta
A série converge (por convergência absoluta, já que todos os termos são positivos).