Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty1(2n+1)^3
e pede para usar o teste da integral, cujo conteúdo é: se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>=1, então
sumn=1^inftyf(n)
converge se, e somente se,
integral1^inftyf(x),dx
converge.

Passo 2

Definimos
f(x)=1(2x+1)^3
Para x>=1, temos 2x+1>=3, logo f(x)>0. A derivada
f'(x)=-3cdot2(2x+1)^4<0
mostra que f é decrescente. E f é obviamente contínua em [1,infty). Portanto podemos aplicar o teste da integral.

Passo 3

Calculamos
integral1^infty1(2x+1)^3,dx
Fazendo a substituição u=2x+1, temos du=2,dx ou dx=tfrac12,du. Quando x=1, u=3; quando x=N, u=2N+1. Assim, para N>1,
integral1^N1(2x+1)^3,dx =12integral3^2N+1u^-3,du =12[u^-2-2]3^2N+1 =-14l[(2N+1)^-2-3^-2r] =14l(3^-2-(2N+1)^-2r)
Tomando o limite Ntoinfty, o termo (2N+1)^-2to0, de modo que
integral1^infty1(2x+1)^3,dx =14cdot19 =136,
que é finito.

Passo 4

Como a integral imprópria converge, pelo teste da integral a série
sumn=1^infty1(2n+1)^3
também converge.

Resposta

A série converge (por convergência absoluta, já que todos os termos são positivos).

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