Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral e verificar se a série
converge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries com termos positivos, que exige definir uma função contínua e decrescente
tal que
e analisar a convergência da integral imprópria
Passo 2
Definimos
Primeiro,
para todo
. Agora verificamos que
é decrescente em
. Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Assim,
é decrescente.
Passo 3
Aplicamos o teste da integral, estudando
Fazemos a substituição
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim,
que é finito.
Passo 4
Como
é positiva e decrescente e a integral
converge, pelo teste da integral a série
converge.
Resposta
A série converge pelo teste da integral.