Utilize o teste da integral para dizer se as seguintes séries convergem.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral e verificar se a série
sumn=1^infty n^2e^-n^3
converge. O conteúdo principal é o teste da integral para séries com termos positivos, que exige definir uma função contínua e decrescente f(x) tal que f(n)=n^2e^-n^3 e analisar a convergência da integral imprópria
integral1^inftyf(x),dx

Passo 2

Definimos
f(x)=x^2e^-x^3, x>=1
Primeiro, f(x)>0 para todo x>=1. Agora verificamos que f é decrescente em [1,infty). Calculamos a derivada:
f'(x) =ddxl(x^2e^-x^3r) =e^-x^3(2x)-x^2cdot3x^2e^-x^3 =e^-x^3xl(2-3x^3r)
Para x>=1 temos 2-3x^3<=2-3<0, logo f'(x)<0. Assim, f é decrescente.

Passo 3

Aplicamos o teste da integral, estudando
integral1^inftyx^2e^-x^3,dx
Fazemos a substituição t=x^3, então dt=3x^2,dx ou x^2,dx=tfracdt3. Quando x=1, t=1; quando xtoinfty, ttoinfty. Assim,
integral1^inftyx^2e^-x^3,dx =integral1^inftye^-t,dt3 =13integral1^inftye^-t,dt =13l[-e^-tr]1^infty =13,e^-1,
que é finito.

Passo 4

Como f(x) é positiva e decrescente e a integral
integral1^inftyf(x),dx
converge, pelo teste da integral a série
sumn=1^inftyn^2e^-n^3
converge.

Resposta

A série converge pelo teste da integral.

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