Para a in R+^*, temos que a=e^ln (a) e portanto a^r=e^r ln (a) para todo número racional r (vide 4(c) ). Assim, para qualquer número real x definimos a^x:=e^x ln (a). A função exponencial de base a
exp a: R R+^*, exp a(x)=a^x
Mostre forall a, b>0 e forall x, y in R que:
(f) exp a^prime=exp a cdot ln (a) .

Passo 1

O enunciado define, para a>0, a função
expa(x)=a^x,
onde usamos a definição
a^x:=e^xln(a)
Queremos mostrar que a derivada dessa função satisfaz
expa'(x)=expa(x),ln(a)
O conteúdo envolvido é a derivada da exponencial natural e a regra da cadeia.

Passo 2

Escrevendo explicitamente
expa(x)=e^xln(a),
defina u(x)=xln(a). Pela regra da cadeia, temos
ddxe^u(x)=e^u(x)cdot u'(x)
Como u'(x)=ln(a), basta substituir.

Passo 3

Substituindo u(x)=xln(a) e u'(x)=ln(a) obtemos
expa'(x) =ddxe^xln(a) =e^xln(a)cdotln(a) =a^xln(a) =expa(x),ln(a)

Resposta

expa'(x)=expa(x),ln(a)

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