O tempo adequado de troca de um amortecedor de certa marca de automóvel em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser uma variável contínua medida em anos. Suponha que a função densidade é dada pela seguinte expressão:
f(x)=ll 14 x, & se 0 <= x <= 2 -18, & se 2 <= x <= 6 0, & caso contrário á
(a) (1.0) Supondo que um automóvel está a 3 anos com o mesmo amortecedor qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de 4 anos de uso?
(b) (1.0) Qual o tempo médio adequado para a troca de amortecedores?

Passo 1

O enunciado descreve o tempo contínuo X (em anos) até a troca de um amortecedor, com densidade f(x) definida por
f(x)= 14 x, &0<= x<=2, 18, &2< x<=6, 0,&caso contrário á
Precisamos calcular (a) a probabilidade condicional de troca antes de 4 anos, dado que o amortecedor já dura 3 anos, e (b) a média E[X].

Passo 2

Para achar a probabilidade condicional, primeiro montamos a função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x). Integrando f(x) por trechos, obtemos
F(x)= x^28, &0<= x<=2, 12 + x-28, &2< x<=6, 1,&x>6

Passo 3

Agora calculamos F(3) e F(4):
F(3)=12+3-28=0,625,
F(4)=12+4-28=0,75
A probabilidade condicional é
P(X<=4mid X>3)=P(3< X<=4)P(X>3)=F(4)-F(3)1-F(3)=0,75-0,6251-0,625=0,1250,375=13

Passo 4

Para o tempo médio adequado, usamos
E[X]=integral0^2 xcdotx4,dx + integral2^6 xcdot18,dx
Calculando cada integral:
integral0^2 x^24,dx=[x^312]0^2=812=23,
integral2^6 x8,dx=[x^216]2^6=36-416=2
Logo E[X]=tfrac23+2=tfrac83 anos.

Resposta

a) tfrac13 b) tfrac83 anos

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