O tempo adequado de troca, X, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
f(x)= x / 4, & 0 <= x <= 2 1 / 8, & 2
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca entre 1 e 3 anos de uso?
b) Supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo o tempo adequado para trocar o amortecedor de um carro. A variável $ X $ representa esse tempo em anos e é contínua. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada de forma diferente para intervalos distintos de $ X $. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua, integrais para calcular probabilidades em intervalos e também o cálculo da média (esperança) de uma variável contínua.

Passo 2

Parte a) Queremos achar a probabilidade de que o amortecedor precise ser trocado entre 1 e 3 anos.
Primeiro, vamos lembrar que para variáveis contínuas, a probabilidade de $ X $ estar entre $ a $ e $ b $ é dada pela integral da f.d.p. nesse intervalo:
X
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 3 $. Mas precisamos considerar que a função $ f(x) $ muda de expressão no intervalo de $ 2 < x \leq 6 $. Então, quando integrarmos de 1 a 3, vamos dividir em duas partes: de 1 a 2 e de 2 a 3.

Passo 3

Vamos calcular a integral de 1 a 2 onde $ f(x) = \frac{x}{4} $:
f(x) = x4

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de 2 a 3 onde $ f(x) = \frac{1}{8} $:
f(x) = 18

Passo 5

Somando as duas probabilidades:
P(1 <= X <= 3) = 0.375 + 0.125 = 0.5

Passo 6

Parte b) Agora, sabemos que o carro já está com o amortecedor há 3 anos. Queremos a probabilidade de precisar trocá-lo antes de completar 4 anos, ou seja, $ X < 4 $ dado que $ X > 3 $.
Isso é uma probabilidade condicional, calculada assim:
X < 4

Passo 7

Primeiro, vamos calcular $ P(3 < X < 4) $. Como $ 3 $ e $ 4 $ estão no intervalo $ 2 < x \leq 6 $, usamos $ f(x) = \frac{1}{8} $:
P(3 < X < 4)

Passo 8

Agora, precisamos calcular $ P(X > 3) $. Isso é igual a $ 1 - P(X \leq 3) $. Já sabemos que $ P(X \leq 3) = 0.5 $ da parte a).
Então:
P(X > 3)

Passo 9

Agora, aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
P(X < 4 mid X > 3) = 0.1250.5 = 0.25

Passo 10

Parte c) Queremos encontrar o tempo médio adequado para a troca do amortecedor, ou seja, a esperança $ E(X) $ da variável $ X $.
Para variáveis contínuas, a esperança é calculada pela integral de $ x \cdot f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $:
E(X)
Vamos dividir essa integral conforme a definição de $ f(x) $.

Passo 11

Primeiro, para $ 0 \leq x \leq 2 $, $ f(x) = \frac{x}{4} $:
0 <= x <= 2

Passo 12

Segundo, para $ 2 < x \leq 6 $, $ f(x) = \frac{1}{8} $:
2 < x <= 6

Passo 13

Somando as duas partes:
E(X) = 23 + 2 = 83 approx 2.666 anos

Resposta

a) A probabilidade de precisar trocar o amortecedor entre 1 e 3 anos é de 50%.
b) A probabilidade de trocar o amortecedor antes de completar 4 anos, dado que já tem 3 anos, é de 25%.
c) O tempo médio adequado para a troca do amortecedor é de aproximadamente 2,67 anos.

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