O tempo adequado de troca,
, de um amortecedor de certa marca em automóveis, sujeitos a uso contínuo e severo, pode ser considerado como uma variável contínua, medida em anos. Suponha que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) desta variável seja dada pela seguinte expressão
a) Qual a probabilidade de um automóvel, sujeito às condições descritas acima, necessitar de troca entre 1 e 3 anos de uso?
b) Supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
b) Supondo que um automóvel está há 3 anos com o mesmo amortecedor, qual a probabilidade de que seja necessário fazer a troca antes de completar 4 anos de uso?
c) Qual é o tempo médio adequado para a troca do amortecedor desses automóveis?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre probabilidade envolvendo o tempo adequado para trocar o amortecedor de um carro. A variável $ X $ representa esse tempo em anos e é contínua. A função densidade de probabilidade (f.d.p.) é dada de forma diferente para intervalos distintos de $ X $. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua, integrais para calcular probabilidades em intervalos e também o cálculo da média (esperança) de uma variável contínua.
Passo 2
Parte a) Queremos achar a probabilidade de que o amortecedor precise ser trocado entre 1 e 3 anos.
Primeiro, vamos lembrar que para variáveis contínuas, a probabilidade de $ X $ estar entre $ a $ e $ b $ é dada pela integral da f.d.p. nesse intervalo:
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = 3 $. Mas precisamos considerar que a função $ f(x) $ muda de expressão no intervalo de $ 2 < x \leq 6 $. Então, quando integrarmos de 1 a 3, vamos dividir em duas partes: de 1 a 2 e de 2 a 3.
Passo 3
Vamos calcular a integral de 1 a 2 onde $ f(x) = \frac{x}{4} $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de 2 a 3 onde $ f(x) = \frac{1}{8} $:
Passo 5
Somando as duas probabilidades:
Passo 6
Parte b) Agora, sabemos que o carro já está com o amortecedor há 3 anos. Queremos a probabilidade de precisar trocá-lo antes de completar 4 anos, ou seja, $ X < 4 $ dado que $ X > 3 $.
Isso é uma probabilidade condicional, calculada assim:
Passo 7
Primeiro, vamos calcular $ P(3 < X < 4) $. Como $ 3 $ e $ 4 $ estão no intervalo $ 2 < x \leq 6 $, usamos $ f(x) = \frac{1}{8} $:
Passo 8
Agora, precisamos calcular $ P(X > 3) $. Isso é igual a $ 1 - P(X \leq 3) $. Já sabemos que $ P(X \leq 3) = 0.5 $ da parte a).
Então:
Passo 9
Agora, aplicando a fórmula da probabilidade condicional:
Passo 10
Parte c) Queremos encontrar o tempo médio adequado para a troca do amortecedor, ou seja, a esperança $ E(X) $ da variável $ X $.
Para variáveis contínuas, a esperança é calculada pela integral de $ x \cdot f(x) $ sobre todo o domínio de $ X $:
Vamos dividir essa integral conforme a definição de $ f(x) $.
Passo 11
Primeiro, para $ 0 \leq x \leq 2 $, $ f(x) = \frac{x}{4} $:
Passo 12
Segundo, para $ 2 < x \leq 6 $, $ f(x) = \frac{1}{8} $:
Passo 13
Somando as duas partes:
Resposta
a) A probabilidade de precisar trocar o amortecedor entre 1 e 3 anos é de 50%.
b) A probabilidade de trocar o amortecedor antes de completar 4 anos, dado que já tem 3 anos, é de 25%.
c) O tempo médio adequado para a troca do amortecedor é de aproximadamente 2,67 anos.