O tempo era contado em décimos de segundo e convertido para segundos por 0,1 \mathrm{em} ponto fixo de 24 bits. A aproximação efetiva foi:
0,1 \cdot\left(1-2^{-20}\right)
  1. Prove que o erro absoluto é \Delta t=2^{-20} T.
  2. Calcule \Delta t para T=8 \mathrm{~h}, 48 \mathrm{~h}, 100 \mathrm{~h}.
  3. Para v=1500,1700,2000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, estime o erro de posição.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas claras:
  • Informação: a conversão de décimos de segundo para segundos usa o fator aproximado \,0,1\cdot(1-2^{-20}).
  • Informação: o tempo real registrado (exato) é um múltiplo de 0,1 s; seja T esse tempo total em segundos.
  • Pergunta 1: provar que o erro absoluto de tempo é \Delta t=2^{-20}T.
  • Pergunta 2: calcular numericamente \Delta t para T=8\\ \mathrm{h},\\\ 48\\ \mathrm{h},\\\ 100\\ \mathrm{h}.
  • Pergunta 3: para velocidades v=1500,\\\ 1700,\\\ 2000\\ \mathrm{m/s}, estimar o erro de posição resultante (isto é, v multiplicado pelo erro de tempo).

Passo 2

Entendendo a aproximação e escrevendo o tempo aproximado.
Seja T o tempo verdadeiro (em segundos). Pelo enunciado a conversão usa o fator aproximado \,0,1(1-2^{-20}). Então o tempo aproximado gerado pela máquina é
T_{\text{aprox}} = T\cdot(1-2^{-20}).
Isto porque cada unidade de décimo foi multiplicada por esse fator; em consequência o tempo total aproximado é o tempo exato vezes o mesmo fator.

Passo 3

Definindo e calculando o erro de tempo absoluto.
Erro absoluto é a diferença entre o tempo verdadeiro e o tempo aproximado:
\Delta t = T - T_{\text{aprox}} = T - T(1-2^{-20}).
Fazendo a subtração dentro da fórmula obtemos
\Delta t = T\bigl(1 - (1-2^{-20})\bigr) = T\cdot 2^{-20}.
Portanto provamos que
\Delta t = 2^{-20}\,T,
que é exatamente o solicitado na parte 1.

Passo 4

Expressão prática e forma mais conveniente.
Como 2^{-20} = \dfrac{1}{2^{20}} = \dfrac{1}{1048576}, podemos também escrever
\Delta t = \frac{T}{1048576}.
Essa forma facilita o cálculo numérico: basta dividir T (em segundos) por 1048576.

Passo 5

Converter as horas dadas em segundos e calcular \Delta t.
Converter horas em segundos: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
\begin{aligned} T(8\\ \mathrm{h}) &= 8\cdot 3600 = 28800\\ \mathrm{s},\\[4pt] T(48\\ \mathrm{h}) &= 48\cdot 3600 = 172800\\ \mathrm{s},\\[4pt] T(100\\ \mathrm{h}) &= 100\cdot 3600 = 360000\\ \mathrm{s}. \end{aligned}
Agora aplicamos \Delta t = T/1048576:
\begin{aligned} \Delta t(8\\ \mathrm{h}) &= \dfrac{28800}{1048576} = \dfrac{450}{16384} \approx 0{,}0274658203125\\ \mathrm{s},\\[6pt] \Delta t(48\\ \mathrm{h}) &= \dfrac{172800}{1048576} = \dfrac{2700}{16384} \approx 0{,}164794921875\\ \mathrm{s},\\[6pt] \Delta t(100\\ \mathrm{h}) &= \dfrac{360000}{1048576} = \dfrac{5625}{16384} \approx 0{,}34332275390625\\ \mathrm{s}. \end{aligned}]

Passo 6

Interpretando esses valores em termos práticos.
  • \Delta t(8\\ \mathrm{h})\approx 0{,}0275\\ \mathrm{s} (≈27,5 ms) — parece pequeno, mas pode gerar erro de posição relevante em velocidades altas.
  • \Delta t(48\\ \mathrm{h})\approx 0{,}1648\\ \mathrm{s} (≈164,8 ms).
  • \Delta t(100\\ \mathrm{h})\approx 0{,}3433\\ \mathrm{s} (≈343,3 ms).

Passo 7

Derivar o erro de posição e calcular os valores pedidos.
A estimativa do erro de posição devido ao erro de tempo é simplesmente
\Delta x = v\cdot \Delta t.
Usando os \Delta t calculados e cada velocidade v obtemos, para cada T:
Para T=8\\ \mathrm{h} ( \Delta t\approx 0{,}0274658203125\\ \mathrm{s}):
\begin{aligned} \Delta x(1500) &= 1500\cdot 0{,}0274658203125 \approx 41{,}19873046875\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(1700) &= 1700\cdot 0{,}0274658203125 \approx 46{,}69189453125\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(2000) &= 2000\cdot 0{,}0274658203125 \approx 54{,}931640625\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Para T=48\\ \mathrm{h} ( \Delta t\approx 0{,}164794921875\\ \mathrm{s}):
\begin{aligned} \Delta x(1500) &= 1500\cdot 0{,}164794921875 \approx 247{,}1923828125\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(1700) &= 1700\cdot 0{,}164794921875 \approx 280{,}1513671875\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(2000) &= 2000\cdot 0{,}164794921875 \approx 329{,}58984375\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Para T=100\\ \mathrm{h} ( \Delta t\approx 0{,}34332275390625\\ \mathrm{s}):
\begin{aligned} \Delta x(1500) &= 1500\cdot 0{,}34332275390625 \approx 514{,}984130859375\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(1700) &= 1700\cdot 0{,}34332275390625 \approx 583{,}648681640625\\ \mathrm{m},\\[4pt] \Delta x(2000) &= 2000\cdot 0{,}34332275390625 \approx 686{,}6455078125\\ \mathrm{m}. \end{aligned}]

Resposta

\Delta t = 2^{-20}\,T
\Delta t(8\\ \mathrm{h}) = 0{,}0274658203125\\ \mathrm{s},\quad \Delta t(48\\ \mathrm{h}) = 0{,}164794921875\\ \mathrm{s},\quad \Delta t(100\\ \mathrm{h}) = 0{,}34332275390625\\ \mathrm{s}
Para T=8\\ \mathrm{h}:\\ \Delta x(1500)=41{,}19873046875\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(1700)=46{,}69189453125\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(2000)=54{,}931640625\\ \mathrm{m}.
Para T=48\\ \mathrm{h}:\\ \Delta x(1500)=247{,}1923828125\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(1700)=280{,}1513671875\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(2000)=329{,}58984375\\ \mathrm{m}.
Para T=100\\ \mathrm{h}:\\ \Delta x(1500)=514{,}984130859375\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(1700)=583{,}648681640625\\ \mathrm{m},\\ \Delta x(2000)=686{,}6455078125\\ \mathrm{m}.

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