tempo de espera médio para ser atendido é uma variavel Exponencial com parámetro &=1/3 horas. Calcule a probabilidade de ter que esperar entre 1 e 2 horas

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de espera T até ser atendido segue uma distribuição Exponencial com parâmetro \lambda = \tfrac{1}{3} (horas), e pede a probabilidade de esperar entre 1 e 2 horas, ou seja,
P(1 \le T \le 2).
O conteúdo é distribuição de probabilidade contínua, mais especificamente a Exponencial, e vamos usar sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Para uma variável Exponencial com parâmetro \lambda, a CDF é
F(t) = 1 - e^{-\lambda t},\quad t\ge0.
Isso significa que para quaisquer a<b,
P(a \le T \le b) = F(b) - F(a).

Passo 3

Aplicando a=1 e b=2, temos
P(1 \le T \le 2) = F(2) - F(1) = \bigl(1 - e^{-\lambda\cdot 2}\bigr) - \bigl(1 - e^{-\lambda\cdot 1}\bigr) = e^{-\lambda\cdot 1} - e^{-\lambda\cdot 2}.

Passo 4

Substituindo \lambda = \tfrac{1}{3},
P(1 \le T \le 2) = e^{-\tfrac{1}{3}\cdot 1} \;-\; e^{-\tfrac{1}{3}\cdot 2} = e^{-\tfrac{1}{3}} - e^{-\tfrac{2}{3}} \approx 0{,}7165 \;-\; 0{,}5134 = 0{,}2031.

Resposta

P(1 \le T \le 2)=e^{-\tfrac{1}{3}} - e^{-\tfrac{2}{3}}\approx0{,}2031.

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