O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
f(t)= 0 & , t<0 0.5 e^-0.5 t & , t >= 0
Mostre que f(t) é função densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A função dada é
f(t)= 0, & t<0, 0.5,e^-0.5t, & t>= 0
O conteúdo aqui é densidade de probabilidade (distribuição Exponencial). Para mostrar que isso é de fato uma função densidade, a gente precisa de duas coisas:
  1. para todo .
  2. .

Passo 2

Primeiro, não dá nem o que discutir:
  • Para , , então é não-negativa.
  • Para , . A exponencial é sempre positiva, e multiplicando por 0.5 continua positivo.
    Logo, em toda a reta.

Passo 3

Agora vamos à integral total. Como pra integral-infty^inftyf(t),dt =integral0^infty0.5,e^-0.5t,dt a função é zero, só precisamos integrar de 0 a integral0.5,e^-0.5t,dt =0.5;cdot;l(e^-0.5t-0.5r) =-,e^-0.5t :
l[-e^-0.5tr]0^infty =limttoinftyl(-e^-0.5tr);-;l(-e^-0.5cdot0r) =(0)-(-1)=1
Para resolver, lembramos que a antiderivada de é . Aqui , então
Agora avaliamos de até :

Resposta

Sim, é não-negativa e sua integral total dá 1. Portanto, ela satisfaz os requisitos e é uma função densidade de probabilidade.

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