O tempo de funcionamento sem avarias (expresso em dias) de um determinado equipamento, tem a seguinte função densidade de probabilidade:
Mostre que
é função densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A função dada é
O conteúdo aqui é densidade de probabilidade (distribuição Exponencial). Para mostrar que isso é de fato uma função densidade, a gente precisa de duas coisas:
-
para todo . -
.
Passo 2
Primeiro, não dá nem o que discutir:
- Para
, , então é não-negativa. - Para
, . A exponencial é sempre positiva, e multiplicando por 0.5 continua positivo.
Logo,em toda a reta.
Passo 3
Agora vamos à integral total. Como pra
a função é zero, só precisamos integrar de 0 a
:
Para resolver, lembramos que a antiderivada de
é
. Aqui
, então
Agora avaliamos de
até
:
Resposta
Sim,
é não-negativa e sua integral total dá 1. Portanto, ela satisfaz os requisitos e é uma função densidade de probabilidade.