O tempo gasto em e-mail, por sessão, é normalmente distribuído com mu=8 minutos e sigma=2 minutos.
Se amostras aleatórias de 100 sessões fossem selecionadas que proporção das médias aritméticas das amostras estaria entre 7,8 e 8,2 minutos?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado diz que o tempo por sessão em e-mail é normalmente distribuído com média minutos e desvio padrão minutos. A pergunta é: se tirarmos amostras de tamanho , qual a proporção das médias amostrais que cai entre 7,8 e 8,2 minutos?
Conteúdo: distribuição da média amostral (teorema central do limite e propriedades de normal). Vamos precisar saber que a média da distribuição amostral é e o desvio padrão (erro padrão) é , além de usar a tabela da normal padrão.

Passo 2

Primeiro, a gente identifica a distribuição da média amostral mubar X = mu = 8, sigmabar X = sigmaraizn = 2raiz100 = 0,2 .
Como a variável original já é normal, também é normal com
Isso significa que .

Passo 3

Queremos calcular
P(7,8 <= bar X <= 8,2)
Pra usar a normal padrão, transformamos Z = bar X - mubar Xsigmabar X em z1 = 7,8 - 80,2 = -0,20,2 = -1 via
z2 = 8,2 - 80,2 = 0,20,2 = 1
Então os limites viram:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora a gente usa a tabela da normal padrão (ou função de distribuição).
P(-1 <= Z <= 1) = Phi(1) - Phi(-1)
Sabendo que P(-1 <= Z <= 1) = 0,8413 - 0,1587 = 0,6826 e , temos

Resposta

A proporção das médias amostrais entre 7,8 e 8,2 minutos é aproximadamente 0,6826 (ou 68,26%).

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