O tempo (em minutos) que 50 clientes esperaram em uma fila de banco foi registrado © agrupado na seguinte distríbuição de frequências:
Tempo (minutos)
Frequência
Frequention acumalade
(0,5)
8
8
(5, 10)
15
23
(10, 15)
12
30
(15,20)
10
45
(20,25)
5
So,
a) Calcule a média aritmética aproximada do tempo de espera.
b) Determine a mediana aproximada do tempo de espera.
Fórmula da Mediana para Dados Agrupados com Intervalos: Md
inf +
- F ant ) / f mediana
. I Onde:
- L inf : Limite inferior da classe mediana
- N : Soma total das frequências
- F_ant : Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
- f_mediana: Frequência da classe mediana
- n : Amplitude da classe mediana
c) Encontre a moda aproximada (classe modal) do tempo de espera.
Fórmula da Moda de Czuber para Dados Agrupados com Intervalos: Mo
L_inf + [d1 / (d1 - d2)] ’ n Onde:
- L_inf : Limite inferior da classe modal
- d1: Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior
- d2 : Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior
- n : Amplitude da classe modal
| Tempo (minutos) | Frequência | Frequention acumalade |
| (0,5) | 8 | 8 |
| (5, 10) | 15 | 23 |
| (10, 15) | 12 | 30 |
| (15,20) | 10 | 45 |
| (20,25) | 5 | So, |
b) Determine a mediana aproximada do tempo de espera.
c) Encontre a moda aproximada (classe modal) do tempo de espera.
Passo 1
Vou listar cuidadosamente o que o enunciado deu (peguei estes números da tabela enviada) e corrigir pequenas inconsistências na coluna de frequência acumulada que estavam em forma de digitação:
- Classes de tempo (em minutos) e suas frequências:
-
: frequência . -
: frequência . -
: frequência . -
: frequência . -
: frequência .
-
- Soma total das frequências:
(foi informado que são 50 clientes e confirma-se somando as frequências: ). - A tabela tinha a coluna “frequência acumulada” com erros de digitação. A frequência acumulada correta, calculada a partir das frequências acima, é:
- após
: . - após
: . - após
: . - após
: . - após
: .
- após
- Observação importante: todas as classes têm mesma amplitude (largura)
minutos, porque cada intervalo vai de um múltiplo de até o próximo múltiplo de .
Passo 2
Calcular a média aritmética aproximada para dados agrupados — teoria e fórmula.
- Para dados agrupados em classes, não conhecendo os valores individuais, usamos o ponto médio (marca de classe) de cada intervalo como representante daquela classe. A média aproximada é dada por:
onde:
-
é a frequência da -ésima classe, -
é a marca de classe (ponto médio) da -ésima classe, -
é o total de observações. - Como calcular a marca de classe? Para uma classe
a marca é .
Agora vamos achar as marcas de classe e os produtos
.
Passo 3
Cálculo detalhado das marcas de classe e dos produtos
.
- Classe
: marca . Produto . - Classe
: marca . Produto . - Classe
: marca . Produto . - Classe
: marca . Produto . - Classe
: marca . Produto .
Somando os produtos:
Passo 4
Cálculo final da média e interpretação rápida.
- Aplicando a fórmula:
- Interpretação rápida: em média, os clientes esperaram aproximadamente
minutos. Bom sinal: o resultado está dentro do intervalo de classes e faz sentido com a distribuição (mais observações nas classes centrais).
Passo 5
Determinar a mediana aproximada — teoria e identificação da classe mediana.
- Definição prática para dados agrupados: a mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para
observações, o termo posição da mediana é . - Fórmula usada (a correta para dados agrupados com classes):
onde:
-
é o limite inferior da classe mediana, -
é o total de observações, -
é a frequência acumulada antes da classe mediana, -
é a frequência da classe mediana, -
é a amplitude (largura) da classe mediana. - Primeiro localizamos a classe que contém a posição
. Aqui , então . Usando a frequência acumulada correta (lista no Passo 1): - após
a acumulada é (ainda menor que ), - após
a acumulada é (ultrapassa ).
Portanto a classe mediana é.
- após
Passo 6
Cálculo numérico da mediana passo a passo.
- Dados para a fórmula:
-
(limite inferior da classe ), -
, -
(acumulada até a classe anterior ), -
(frequência da classe ), -
.
-
- Aplicando a fórmula:
- Simplificando:
Passo 7
Determinar a moda aproximada (classe modal) — identificar a classe modal e escolher a fórmula correta.
- Primeiro, o que é a classe modal? É a classe com maior frequência. Olhando as frequências
, a maior é , então a classe modal é . - Sobre a fórmula: o enunciado trouxe uma expressão da “Fórmula da Moda de Czuber” com um denominador que parece ter sido digitado incorretamente. A forma correta e usual (Czuber / fórmula clássica para dados agrupados) é:
onde:
-
é o limite inferior da classe modal, -
, -
, -
é a amplitude da classe modal. - Justificativa sucinta da correção: a versão com
no denominador é a forma padrão que garante que a fração esteja entre e quando a classe modal realmente tem frequência maior que as vizinhas; a forma com daria resultados estranhos (às vezes fora da classe) e aparenta ser erro de digitação no enunciado.
Passo 8
Cálculo numérico da moda passo a passo.
- Para a classe modal
: -
. -
. - frequência anterior
, frequência posterior . - Logo
e . -
.
-
- Aplicando a fórmula correta:
- Calculando:
- Além disso, a classe modal (classe com maior frequência) é
. A estimativa da moda dentro dessa classe é aproximadamente minutos.