O tempo (em minutos) que 50 clientes esperaram em uma fila de banco foi registrado © agrupado na seguinte distríbuição de frequências:
Tempo (minutos) Frequência Frequention acumalade
(0,5) 8 8
(5, 10) 15 23
(10, 15) 12 30
(15,20) 10 45
(20,25) 5 So,
a) Calcule a média aritmética aproximada do tempo de espera.
b) Determine a mediana aproximada do tempo de espera.
Fórmula da Mediana para Dados Agrupados com Intervalos: Md =\mathrm{L} inf + [(11 / 2) - F ant ) / f mediana ]. I Onde:
  • L inf : Limite inferior da classe mediana
  • N : Soma total das frequências
  • F_ant : Frequência acumulada da classe anterior à classe mediana
  • f_mediana: Frequência da classe mediana
  • n : Amplitude da classe mediana
    c) Encontre a moda aproximada (classe modal) do tempo de espera.
Fórmula da Moda de Czuber para Dados Agrupados com Intervalos: Mo = L_inf + [d1 / (d1 - d2)] ’ n Onde:
  • L_inf : Limite inferior da classe modal
  • d1: Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe anterior
  • d2 : Diferença entre a frequência da classe modal e a frequência da classe posterior
  • n : Amplitude da classe modal

Passo 1

Vou listar cuidadosamente o que o enunciado deu (peguei estes números da tabela enviada) e corrigir pequenas inconsistências na coluna de frequência acumulada que estavam em forma de digitação:
  • Classes de tempo (em minutos) e suas frequências:
    • (0,5): frequência =8.
    • (5,10): frequência =15.
    • (10,15): frequência =12.
    • (15,20): frequência =10.
    • (20,25): frequência =5.
  • Soma total das frequências: N=50 (foi informado que são 50 clientes e confirma-se somando as frequências: 8+15+12+10+5=50).
  • A tabela tinha a coluna “frequência acumulada” com erros de digitação. A frequência acumulada correta, calculada a partir das frequências acima, é:
    • após (0,5): 8.
    • após (5,10): 8+15=23.
    • após (10,15): 23+12=35.
    • após (15,20): 35+10=45.
    • após (20,25): 45+5=50.
  • Observação importante: todas as classes têm mesma amplitude (largura) n=5 minutos, porque cada intervalo vai de um múltiplo de 5 até o próximo múltiplo de 5.

Passo 2

Calcular a média aritmética aproximada para dados agrupados — teoria e fórmula.
  • Para dados agrupados em classes, não conhecendo os valores individuais, usamos o ponto médio (marca de classe) de cada intervalo como representante daquela classe. A média aproximada é dada por:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N},
onde:
  • f_i é a frequência da i-ésima classe,
  • x_i é a marca de classe (ponto médio) da i-ésima classe,
  • N é o total de observações.
  • Como calcular a marca de classe? Para uma classe (a,b) a marca é \dfrac{a+b}{2}.
Agora vamos achar as marcas de classe e os produtos f_i x_i.

Passo 3

Cálculo detalhado das marcas de classe e dos produtos f_i x_i.
  • Classe (0,5): marca x_1=\dfrac{0+5}{2}=2,5. Produto f_1 x_1 = 8\times 2,5 = 20,0.
  • Classe (5,10): marca x_2=\dfrac{5+10}{2}=7,5. Produto f_2 x_2 = 15\times 7,5 = 112,5.
  • Classe (10,15): marca x_3=\dfrac{10+15}{2}=12,5. Produto f_3 x_3 = 12\times 12,5 = 150,0.
  • Classe (15,20): marca x_4=\dfrac{15+20}{2}=17,5. Produto f_4 x_4 = 10\times 17,5 = 175,0.
  • Classe (20,25): marca x_5=\dfrac{20+25}{2}=22,5. Produto f_5 x_5 = 5\times 22,5 = 112,5.
Somando os produtos:
\sum_{i} f_i x_i = 20{,}0 + 112{,}5 + 150{,}0 + 175{,}0 + 112{,}5 = 570{,}0.

Passo 4

Cálculo final da média e interpretação rápida.
  • Aplicando a fórmula:
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{N}=\frac{570{,}0}{50}=11{,}4\\ \text{minutos}.
  • Interpretação rápida: em média, os clientes esperaram aproximadamente 11{,}4 minutos. Bom sinal: o resultado está dentro do intervalo de classes e faz sentido com a distribuição (mais observações nas classes centrais).

Passo 5

Determinar a mediana aproximada — teoria e identificação da classe mediana.
  • Definição prática para dados agrupados: a mediana é o valor que deixa metade das observações abaixo e metade acima. Para N observações, o termo posição da mediana é N/2.
  • Fórmula usada (a correta para dados agrupados com classes):
\text{Md}=L_{\text{inf}}+\left(\frac{N/2 - F_{\text{ant}}}{f_{\text{med}}}\right)\,n,
onde:
  • L_{\text{inf}} é o limite inferior da classe mediana,
  • N é o total de observações,
  • F_{\text{ant}} é a frequência acumulada antes da classe mediana,
  • f_{\text{med}} é a frequência da classe mediana,
  • n é a amplitude (largura) da classe mediana.
  • Primeiro localizamos a classe que contém a posição N/2. Aqui N=50, então N/2=25. Usando a frequência acumulada correta (lista no Passo 1):
    • após (5,10) a acumulada é 23 (ainda menor que 25),
    • após (10,15) a acumulada é 35 (ultrapassa 25).
      Portanto a classe mediana é (10,15).

Passo 6

Cálculo numérico da mediana passo a passo.
  • Dados para a fórmula:
    • L_{\text{inf}}=10 (limite inferior da classe (10,15)),
    • N/2=25,
    • F_{\text{ant}}=23 (acumulada até a classe anterior (5,10)),
    • f_{\text{med}}=12 (frequência da classe (10,15)),
    • n=5.
  • Aplicando a fórmula:
\text{Md}=10+\left(\frac{25-23}{12}\right)\times 5=10+\left(\frac{2}{12}\right)\times 5.
  • Simplificando:
\frac{2}{12}=\frac{1}{6},\qquad \frac{1}{6}\times 5=\frac{5}{6}=0{,}8333\ldots
\text{Md}=10+\frac{5}{6}=10\tfrac{5}{6}\approx 10{,}833\ldots\\ \text{minutos}.

Passo 7

Determinar a moda aproximada (classe modal) — identificar a classe modal e escolher a fórmula correta.
  • Primeiro, o que é a classe modal? É a classe com maior frequência. Olhando as frequências 8,15,12,10,5, a maior é 15, então a classe modal é (5,10).
  • Sobre a fórmula: o enunciado trouxe uma expressão da “Fórmula da Moda de Czuber” com um denominador que parece ter sido digitado incorretamente. A forma correta e usual (Czuber / fórmula clássica para dados agrupados) é:
\text{Mo}=L_{\text{inf}}+\left(\frac{d_1}{d_1+d_2}\right)\,n,
onde:
  • L_{\text{inf}} é o limite inferior da classe modal,
  • d_1=f_{\text{modal}}-f_{\text{anterior}},
  • d_2=f_{\text{modal}}-f_{\text{posterior}},
  • n é a amplitude da classe modal.
  • Justificativa sucinta da correção: a versão com d_1+d_2 no denominador é a forma padrão que garante que a fração esteja entre 0 e 1 quando a classe modal realmente tem frequência maior que as vizinhas; a forma com d_1-d_2 daria resultados estranhos (às vezes fora da classe) e aparenta ser erro de digitação no enunciado.

Passo 8

Cálculo numérico da moda passo a passo.
  • Para a classe modal (5,10):
    • L_{\text{inf}}=5.
    • f_{\text{modal}}=15.
    • frequência anterior =8, frequência posterior =12.
    • Logo d_1=15-8=7 e d_2=15-12=3.
    • n=5.
  • Aplicando a fórmula correta:
\text{Mo}=5+\left(\frac{7}{7+3}\right)\times 5=5+\left(\frac{7}{10}\right)\times 5.
  • Calculando:
\frac{7}{10}\times 5 = 0{,}7\times 5 = 3{,}5.
\text{Mo}=5+3{,}5=8{,}5\\ \text{minutos}.
  • Além disso, a classe modal (classe com maior frequência) é (5,10). A estimativa da moda dentro dessa classe é aproximadamente 8{,}5 minutos.

Resposta

\text{Média aritmética aproximada} = 11{,}4\\ \text{min}éé
\text{Mediana aproximada} = 10{,}833\ldots\\ \text{min}
\text{Classe modal} = (5,10);\\ \text{Moda aproximada} = 8{,}5\\ \text{min}

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