O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & \text { se } 0 \leq x<2 \\\ \frac{1}{8}, & \text { se } 2 \leq x<6 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
Determine:
\mathbb{P}(1<X \leq 4);

Passo 1

O enunciado diz que X\) é uma variável contínua com densidade \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{4},&0\le x<2,\\[6pt] \dfrac{1}{8},&2\le x<6,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
e pede (\mathbb{P}(1<X\le4)]. Para variáveis contínuas, usamos
\mathbb{P}(a<X\le b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.]

Passo 2

Como o intervalo (1,4] cruza a quebra em x=2, dividimos a integral em duas partes:
\mathbb{P}(1<X\le4) =\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx+\int_{2}^{4}\frac{1}{8}\,dx.
Agora basta calcular cada integral:
\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx =\frac{1}{4}\bigl(2-1\bigr) =\frac{1}{4},
\int_{2}^{4}\frac{1}{8}\,dx =\frac{1}{8}\bigl(4-2\bigr) =\frac{2}{8} =\frac{1}{4}.
Somando,
\mathbb{P}(1<X\le4) =\frac{1}{4}+\frac{1}{4} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \mathbb{P}(1<X\le4)=\frac{1}{2}.

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