O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável aleatória contínua X. Sua densidade é apresentada a seguir.
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{4}, & \text { se } 0 \leq x<2 \\\ \frac{1}{8}, & \text { se } 2 \leq x<6 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
Determine:
\mathbb{P}(X<3 \mid X \geq 1);

Passo 1

Resumindo: temos uma variável contínua X\) com densidade \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{4},&0\le x<2,\\[6pt] \dfrac{1}{8},&2\le x<6,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}
e queremos calcular
\mathbb{P}(X<3\mid X\ge1).
Para isso usamos a definição de probabilidade condicional
\mathbb{P}(A\mid B)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)},
aqui com A=\{X<3\}\] e \(B=\{X\ge1\}.]

Passo 2

Calcular \mathbb{P}(X\ge1). Como a densidade é positiva em [0,6), temos
\mathbb{P}(X\ge1) =\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx+\int_{2}^{6}\frac{1}{8}\,dx.
No primeiro trecho [1,2) usamos f(x)=\tfrac14, e em [2,6) usamos f(x)=\tfrac18.

Passo 3

Executando as integrais:
\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx =\frac{1}{4}(2-1)=\frac{1}{4}, \quad \int_{2}^{6}\frac{1}{8}\,dx =\frac{1}{8}(6-2)=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.
Logo
\mathbb{P}(X\ge1) =\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(1\le X<3)=\mathbb{P}(X<3\cap X\ge1). Divide-se em dois pedaços:
\int_{1}^{2}\frac{1}{4}\,dx +\int_{2}^{3}\frac{1}{8}\,dx =\frac{1}{4}(2-1)+\frac{1}{8}(3-2) =\frac{1}{4}+\frac{1}{8} =\frac{3}{8}.

Passo 5

Agora a probabilidade condicional é
\mathbb{P}(X<3\mid X\ge1) =\frac{\mathbb{P}(1\le X<3)}{\mathbb{P}(X\ge1)} =\frac{\tfrac{3}{8}}{\tfrac{3}{4}} =\frac{3}{8}\times\frac{4}{3} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}.

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