O tempo de vida (em anos) de um transistor segue uma distribuição exponencial com tempo médio de vida theta=5 anos.
Qual a probabilidade de um transistor falhar antes dos 3 anos de operação?

Passo 1

Resumo do que o enunciado pede e conteúdo envolvido
A questão diz que o tempo de vida de um transistor segue uma distribuição exponencial com média anos. Queremos saber a probabilidade de ele falhar antes de anos. O conteúdo aqui é Distribuição Exponencial, e para resolver vamos usar a função de distribuição acumulada (CDF) dessa distribuição.

Passo 2

Relembrando a teoria da distribuição exponencial
  1. A distribuição exponencial tem parâmetro f(t) = 1theta e^-t/theta, t>=0 (média) e descreve tempos entre eventos.
  2. A função densidade de probabilidade (PDF) é
F(t) = integral0^t 1theta e^-u/theta,du = 1 - e^-t/theta
  1. A função de distribuição acumulada (CDF), que dá P(T < t) = F(t) = 1 - e^-t/theta , é
Ou seja, a probabilidade de falhar antes de um determinado tempo é

Passo 3

Aplicando ao nosso caso
Aqui temos P(T < 3) = 1 - e^-3/5 anos e queremos P(T < 3) = 1 - 0,5488 = 0,4512 anos. Basta substituir na fórmula:
Para ter uma noção numérica, calculemos . Sabendo que , vem

Resposta

boxedP(falha antes de 3 anos) = 1 - e^-3/5 approx 0,4512

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