Tende a convergir ou divergir \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}\
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
tende a convergir ou a divergir. Informações relevantes que o enunciado dá:
O termo geral da série é a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+1}.
Para todo n\ge 1, a_{n}>0 (todos os termos são positivos).
Não há soma fechada pedida, só a classificação (convergente ou divergente).
Passo 2
Vamos lembrar um resultado muito útil: a série-p (p-series). Definição e propriedade:
Uma série-p tem a forma [\displaystyle\sum_{n=1}{\infty}\frac{1}{n{p}}), onde p é um número real.
Teorema (resultado conhecido): a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
Explicando rapidamente por que isso é verdade (uma mini-aula): usar o teste da integral. Considere a função f(x)=x^{-p} positiva e decrescente para x\ge1 quando p>0. Então
Pelo teste integral, a série e a integral têm o mesmo tipo de convergência, daí a condição em (p].]
Passo 3
Agora vamos apresentar os testes de comparação que usaremos (mini-aula sobre eles):
Teste da comparação direta: se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n suficientemente grande e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} também converge. Analogamente, se a_{n}\ge b_{n}\ge0 e \sum b_{n} diverge, então \sum a_{n} diverge.
Teste da comparação por limite (limit comparison): se a_{n}>0, b_{n}>0 e
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L
com 0<L<\infty, então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Vou aplicar um desses testes ao nosso a_{n}=\dfrac{1}{n^{2}+1}.
Passo 4
Aplicando a comparação direta com a série-p de potência p=2:
Para todo n\ge 1 vale n^{2}+1\ge n^{2}. Como os denominadores são maiores no primeiro caso, isso implica
\frac{1}{n^{2}+1}\le\frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série-p com p=2>1, portanto converge (é conhecida que \sum 1/n^{2}=\zeta(2)=\pi^{2}/6, mas só precisamos do fato da convergência).
Pelo teste da comparação direta, como 0\le a_{n}\le 1/n^{2} e \sum 1/n^{2} converge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}+1}
converge.
Passo 5
Complemento (opcional, para reforçar): usando o teste da comparação por limite para verificação rápida:
Como o limite é um número finito e não nulo (L=1), as duas séries têm o mesmo comportamento; como \sum 1/n^{2} converge, a nossa converge também. Isso confirma o passo anterior.
Passo 6
Observações finais e intuição: os termos a_{n} se comportam como 1/n^{2} quando n é grande (porque o +1 no denominador é irrelevante para grandes n), e séries do tipo 1/n^{2} têm soma finita. Além disso, todos os termos são positivos, então não há distinção entre convergência e convergência absoluta aqui.