Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros de Português e 3 de Matemática na prateleira de uma estante. De quantas maneiras posso fazer isso de modo que livros da mesma matéria fiquem juntos?

Passo 1

Resumindo o problema, temos 6 livros distintos de Português e 6 distintos de Matemática. Vamos escolher 4 livros de Português e 3 de Matemática, colocá-los numa prateleira de modo que os 4 de Português fiquem juntos e os 3 de Matemática também fiquem juntos. O conteúdo é combinação para escolher quais livros e permutação para ordenar os livros e os blocos.

Passo 2

Primeiro, escolhemos quais livros vão para a estante. Há
\binom{6}{4}
maneiras de escolher 4 livros de Português e
\binom{6}{3}
maneiras de escolher 3 livros de Matemática. Portanto, o total de escolhas é
\binom{6}{4}\times\binom{6}{3}.

Passo 3

Depois de escolher, precisamos ordenar os livros dentro de cada bloco. Os 4 livros de Português podem ser dispostos de 4! maneiras e os 3 livros de Matemática de 3! maneiras. Então multiplicamos por
4! \times 3!.

Passo 4

Agora tratamos cada conjunto de livros de uma disciplina como um bloco único. Como há 2 blocos, eles podem ficar em 2 ordens diferentes (ou Português primeiro e depois Matemática, ou o contrário), isto é, um fator de 2.

Passo 5

Juntando tudo, o número total de maneiras é
\binom{6}{4}\times\binom{6}{3}\times 4! \times 3! \times 2.
Calculando valores: \binom{6}{4}=15, \binom{6}{3}=20, 4!=24, 3!=6. Logo
15\times20\times24\times6\times2 = 86400.

Resposta

São 86400 maneiras.

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