(UFSC) Sobre uma reta são marcados 7 pontos, e sobre uma outra reta, paralela à primeira, 3 pontos. Qual é o número de triângulos com vértices em três desses pontos?

Passo 1

O enunciado coloca 7 pontos numa reta e 3 pontos noutra reta paralela. Queremos contar quantos triângulos podem ser formados escolhendo três desses 7+3=10 pontos, lembrando que três pontos colineares não formam triângulo.

Passo 2

Calculemos o número total de maneiras de escolher três pontos entre os 10:
\binom{10}{3} = \frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1} = 120.

Passo 3

Agora subtraímos as escolhas que dão três pontos colineares, ou seja, todos na mesma reta. Na reta com 7 pontos há
\binom{7}{3} = 35
escolhas colineares, e na reta com 3 pontos há
\binom{3}{3} = 1
escolha colinear. No total são 35 + 1 = 36 escolhas inválidas.

Passo 4

O número de triângulos é
120 - 36 = 84.

Resposta

84

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