Para o tensor \mathbf{A} e o vetor \mathbf{b} mostrados abaixo realizar as seguintes operações:
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 0 & 4 & 2 \end{array}\right] \quad \boldsymbol{b}=\left\{\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right\}
Decompor o tensor \mathbf{A} como uma soma de um tensor simétrico e um tensor antissimétrico.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o tensor \mathbf{A} como soma de um tensor simétrico \mathbf{S} e um tensor antissimétrico \mathbf{W}. O conteúdo é a decomposição de qualquer matriz quadrada pela fórmula
\mathbf{S} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{A}^T}{2}, \qquad \mathbf{W} = \frac{\mathbf{A} - \mathbf{A}^T}{2}.

Passo 2

Calcular a transposta \mathbf{A}^T. Como
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix},
temos
\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Obter a parte simétrica \mathbf{S}=(\mathbf{A}+\mathbf{A}^T)/2:
\mathbf{S} = \frac{1}{2} \Bigl( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Bigr) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & \tfrac{5}{2} & 2 \end{pmatrix}.
Note que \mathbf{S}^T=\mathbf{S}, como esperado.

Passo 4

Obter a parte antissimétrica \mathbf{W}=(\mathbf{A}-\mathbf{A}^T)/2:
\mathbf{W} = \frac{1}{2} \Bigl( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 1\\\\ 0 & 4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 1 & 4\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \Bigr) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & -\tfrac{3}{2}\\\\ 0 & \tfrac{3}{2} & 0 \end{pmatrix}.
Confirme que \mathbf{W}^T=-\mathbf{W}, caracterizando-o como antissimétrico.

Resposta

\mathbf{A} = \underbrace{ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1\\\\ 0 & \tfrac{5}{2} & 2 \end{pmatrix} }_{\mathbf{S}\text{ (simétrico)}} + \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\\\ -1 & 0 & -\tfrac{3}{2}\\\\ 0 & \tfrac{3}{2} & 0 \end{pmatrix} }_{\mathbf{W}\text{ (antissimétrico)}}.éé

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