Por tentativa e erro, encontre exemplos de matrizes 2 times 2 de modo que:
(c) E F=0, sem que nenhum elemento de E e de F seja zero.

Passo 1

O enunciado pede duas matrizes 2times2, E e F, sem nenhuma entrada nula, tais que o produto EF seja a matriz zero. O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e a existência de divisores de zero no anel das matrizes.

Passo 2

Uma forma prática é fazer com que todas as linhas de E sejam o mesmo vetor linha r=(r1,r2) e todas as colunas de F sejam o mesmo vetor coluna s=(s1,s2). Nesse caso cada entrada de EF é o produto interno r!cdot! s=r1s1+r2s2. Basta então escolher r e s não nulos e ortogonais para garantir EF=0.

Passo 3

Por tentativa, tomamos vetores sem coordenadas nulas e ortogonais, por exemplo
r=(1,1), s=(1,-1),
pois
1cdot1 + 1cdot(-1)=0,
e 1 e -1 são diferentes de zero.

Passo 4

Definimos então
E=1&11&1, F=1&1-1&-1,
onde todas as entradas são pm1, portanto não nulas.

Passo 5

Calculando o produto:
EF =1&11&1 1&1-1&-1 = 1cdot1 + 1cdot(-1) & 1cdot1 + 1cdot(-1) 1cdot1 + 1cdot(-1) & 1cdot1 + 1cdot(-1) =0&00&0

Resposta

E=1&11&1, F=1&1-1&-1

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