Por tentativa e erro, encontre exemplos de matrizes 2 times 2 de modo que:
(a) A^2=-I

Passo 1

O enunciado pede uma matriz 2times2 real A tal que A^2=-I. Vamos representar
A=a & b [6pt] c & d,
calcular A^2 e impor a condição A^2=-I.]

Passo 2

Calculando o quadrado:
A^2 = a^2+bc & b(a+d)[4pt] c(a+d) & bc+d^2 ]

Passo 3

Igualando a -I temos o sistema
a^2+bc=-1, b(a+d)=0, c(a+d)=0, bc+d^2=-1

Passo 4

Não há solução real com b=c=0 (pois exigiria a^2=-1). Logo deve ocorrer
a+d=0Longrightarrow d=-a,
e resta a condição a^2+bc=-1.

Passo 5

Escolhendo valores simples para a e b:
– Se a=0 e b=1, então c=-1 e
A1=0 & 1[4pt] -1 & 0
– Se a=1 e b=1, então c=-(1+1^2)=-2 e
A2=1 & 1[4pt] -2 & -1 ]

Passo 6

Verificando por multiplicação direta:
A1^2 =0 & 1 -1 & 0^2 =-1 & 0 0 & -1,
A2^2 =1 & 1 -2 & -1^2 =-1 & 0 0 & -1

Resposta

Um exemplo de matriz 2times2 com A^2=-I é
0 & 1[4pt] -1 & 0
ou, de modo genérico,
1 & 1[4pt] -2 & -1 ]

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