Tente evitar perda de dígitos significantes no cálculo das seguintes funções:
sen(a+x)-sen(a), para x próximo de zero;
Isto é, tente reescrever as funções acima de forma que não haja subtração de dois números quase iguais. Use identidades trigonométricas nos itens (a) e (b).

Passo 1

Estamos interessados em calcular de forma numericamente estável, para x pequeno, as diferenças
sin(a+x)-sin(a) e cos(a+x)-cos(a)
sem subtrair dois valores quase iguais, pois isso causa perda de dígitos significativos. Vamos usar as identidades trigonométricas de soma-e-diferença que transformam diferenças em produtos.

Passo 2

Para a função sin(a+x)-sin(a) usamos a identidade
sin u - sin v = 2 cos!l(u+v2r),sin!l(u-v2r)
Tomando u = a+x e v = a, obtemos
sin(a+x)-sin(a) = 2 cos!l((a+x)+a2r),sin!l((a+x)-a2r) = 2 cos!l(a+tfracx2r),sin!l(tfracx2r)
Esse produto não envolve subtração de dois termos quase iguais quando x é pequeno.

Passo 3

Para a função cos(a+x)-cos(a) usamos a identidade
cos u - cos v = -2 sin!l(u+v2r),sin!l(u-v2r)
Tomando u = a+x e v = a, segue
cos(a+x)-cos(a) = -2 sin!l((a+x)+a2r),sin!l((a+x)-a2r) = -2 sin!l(a+tfracx2r),sin!l(tfracx2r)
Novamente, evitamos subtrair duas quantidades quase iguais.

Resposta

(a) sin(a+x)-sin(a) = 2 cosl(a+tfracx2r),sinl(tfracx2r)
(b) cos(a+x)-cos(a) = -2 sinl(a+tfracx2r),sinl(tfracx2r)

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