Tente evitar perda de dígitos significantes no cálculo das seguintes funções: Isto é, tente reescrever as funções acima de forma que não haja subtração de dois números quase iguais. Use identidades trigonométricas nos itens (a) e (b).
(c)
\log (1+x)-\log (x), para x grande.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede: estamos com a expressão \log(1+x)-\log(x) e a situação de interesse é x grande (isto é, x\gg1). O objetivo é reescrever essa expressão de forma a evitar perda de dígitos significativos quando for calculada numericamente — em particular quando x grande faz com que os dois termos subtraídos sejam valores grandes e próximos.

Passo 2

Por que há problema (explicação didática e simples): quando calculamos numericamente \log(1+x) e \log(x) para x grande, ambos são aproximadamente \log(x). Subtrair dois números grandes e muito próximos causa cancelamento catastrófico: as casas iniciais (dígitos significativos) se anulam e sobra apenas a diferença pequena com poucas casas confiáveis. Em computação numérica isso reduz muito a precisão do resultado. Um exemplo conceitual: se A=12345678{,}123456 e B=12345678{,}123450, A-B=0{,}000006 perde todos os dígitos à esquerda por cancelamento — algo parecido ocorre aqui se \log(1+x) e \log x só diferem por algo da ordem de 1/x.

Passo 3

Identidade algébrica (passo de álgebra simples, que resolve o problema): use a identidade dos logaritmos \log a - \log b = \log\!\left(\dfrac{a}{b}\right). Aplicando ao nosso caso:
\log(1+x)-\log(x)=\log\!\left(\frac{1+x}{x}\right).
Agora simplificamos a fração dentro do logaritmo:
\frac{1+x}{x}=1+\frac{1}{x},
logo
\log(1+x)-\log(x)=\log\!\left(1+\frac{1}{x}\right).
Esse é o reescrito exato e elimina a subtração de dois números grandes.

Passo 4

Por que essa forma é numericamente estável: ao reescrever como \log\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right) estamos tomando o logaritmo de um número próximo de 1 (pois 1+\frac{1}{x}\to1 quando x cresce). Não há subtração entre números grandes — em vez disso, lidamos com um pequeno incremento \dfrac{1}{x}. Computacionalmente, há funções especiais implementadas (em muitas bibliotecas) chamadas \operatorname{log1p}(u) que calculam \log(1+u) com alta precisão mesmo quando u é muito pequeno. Assim, a forma mais segura para cálculo numérico é
\operatorname{log1p}\!\left(\frac{1}{x}\right),
que evita o cancelamento.

Passo 5

Aproximação por série (útil na prova para estimar sem calculadora): se quiser uma aproximação para x grande, use a expansão em série para \log(1+u) com u=\dfrac{1}{x}:
\log(1+u)=u-\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{3}-\cdots.
Substituindo u=\dfrac{1}{x} obtemos
\log\!\left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}+\frac{1}{3x^{3}}-\cdots,
ou, para uma estimativa rápida e suficiente na prova, \log\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\approx\dfrac{1}{x} (erro da ordem de 1/x^{2}). Isso mostra também que a diferença original é pequena (da ordem de 1/x), explicando por que a subtração direta seria problemática.

Passo 6

Recomendações práticas para a prova/implementação:
  • Para provas: reescreva sempre como \log\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right) e, se precisar de uma estimativa, use a expansão em série até a ordem desejada.
  • Para programação/uso de calculadora: chame \operatorname{log1p}\!\left(\dfrac{1}{x}\right) se a linguagem/função matemática fornecer; caso contrário calcule \log\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right) diretamente em vez de subtrair \log(1+x)-\log x.

Resposta

\log\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)

Exercícios relacionados