Tente evitar perda de dígitos significantes no cálculo das seguintes funções: Isto é, tente reescrever as funções acima de forma que não haja subtração de dois números quase iguais. Use identidades trigonométricas nos itens (a) e (b).
(c)
, para
grande.
(c)
Passo 1
O que o enunciado dá e pede: estamos com a expressão
e a situação de interesse é
grande (isto é,
). O objetivo é reescrever essa expressão de forma a evitar perda de dígitos significativos quando for calculada numericamente — em particular quando
grande faz com que os dois termos subtraídos sejam valores grandes e próximos.
Passo 2
Por que há problema (explicação didática e simples): quando calculamos numericamente
e
para
grande, ambos são aproximadamente
. Subtrair dois números grandes e muito próximos causa cancelamento catastrófico: as casas iniciais (dígitos significativos) se anulam e sobra apenas a diferença pequena com poucas casas confiáveis. Em computação numérica isso reduz muito a precisão do resultado. Um exemplo conceitual: se
e
,
perde todos os dígitos à esquerda por cancelamento — algo parecido ocorre aqui se
e
só diferem por algo da ordem de
.
Passo 3
Identidade algébrica (passo de álgebra simples, que resolve o problema): use a identidade dos logaritmos
. Aplicando ao nosso caso:
Agora simplificamos a fração dentro do logaritmo:
logo
Esse é o reescrito exato e elimina a subtração de dois números grandes.
Passo 4
Por que essa forma é numericamente estável: ao reescrever como
estamos tomando o logaritmo de um número próximo de
(pois
quando
cresce). Não há subtração entre números grandes — em vez disso, lidamos com um pequeno incremento
. Computacionalmente, há funções especiais implementadas (em muitas bibliotecas) chamadas
que calculam
com alta precisão mesmo quando
é muito pequeno. Assim, a forma mais segura para cálculo numérico é
que evita o cancelamento.
Passo 5
Aproximação por série (útil na prova para estimar sem calculadora): se quiser uma aproximação para
grande, use a expansão em série para
com
:
Substituindo
obtemos
ou, para uma estimativa rápida e suficiente na prova,
(erro da ordem de
). Isso mostra também que a diferença original é pequena (da ordem de
), explicando por que a subtração direta seria problemática.
Passo 6
Recomendações práticas para a prova/implementação:
- Para provas: reescreva sempre como
e, se precisar de uma estimativa, use a expansão em série até a ordem desejada. - Para programação/uso de calculadora: chame
se a linguagem/função matemática fornecer; caso contrário calcule diretamente em vez de subtrair .