Considere um sistema de aritmética de ponto flutuante com t=4 dígitos na mantissa e base \beta=10. Seja o número x=0,123456 \times 10^{2}.
(a) Represente x na forma x=f_{x} \times 10^{e}+g_{x} \times 10^{e-t}
(b) Calcule \bar{x} por arredondamento simétrico
(c) Determine os limites superiores para \left|E A_{x}\right| e \left|E R_{x}\right|

Passo 1

O enunciado dá um sistema de ponto flutuante com t=4 dígitos na mantissa e base \beta=10. O número é x=0,123456\times10^{2}. As perguntas são:
(a) Representar x na forma \;x=f_{x}\times10^{e}+g_{x}\times10^{\,e-t}.
(b) Calcular \bar{x} obtido por arredondamento simétrico para t=4 dígitos.
(c) Determinar limites superiores para \left|E A_{x}\right| (erro absoluto máximo) e \left|E R_{x}\right| (erro relativo máximo).
Informações relevantes extraídas do enunciado: t=4, \beta=10, x=0,123456\times10^{2}. Não se faz ainda nenhum cálculo neste passo.

Passo 2

Primeiro vou colocar x em forma decimal normal para trabalhar com mais clareza. Multiplicando:
x = 0,123456\times10^{2} = 12,3456.
Isto é apenas uma expressão equivalente de x em notação usual.

Passo 3

Agora vamos construir a representação pedida da forma \;x=f_{x}\times10^{e}+g_{x}\times10^{\,e-t}.
  • Explicação do que vamos fazer: para ter t=4 dígitos na mantissa, mantemos os 4 primeiros dígitos significativos da mantissa original e colocamos o resto na parte g_{x}\times10^{\,e-t}. Aqui é natural escolher o expoente e=2 (o enunciado já usa 10^{2}), portanto usamos a forma com mantissa escrita como 0.d_1d_2d_3d_4\dots\times10^{2}.
  • Pegando os primeiros t=4 dígitos da mantissa 0,123456, obtemos f_{x}=0,1234.
  • O termo restante g_{x}\times10^{\,e-t} deve compensar a diferença entre x e f_{x}\times10^{e}. Calculamos essa diferença:
f_{x}\times10^{e}=0,1234\times10^{2}=12,34.
\text{diferença }=x-f_{x}\times10^{e}=12,3456-12,34=0,0056.ç
  • Como 10^{\,e-t}=10^{2-4}=10^{-2}=0,01, obtemos g_{x} resolvendo
g_{x}\times10^{-2}=0,0056 \quad\Rightarrow\quad g_{x}=\frac{0,0056}{0,01}=0,56.

Passo 4

Consolidando a resposta da parte (a):
x = f_{x}\times10^{e} + g_{x}\times10^{\,e-t}
com os valores encontrados:
f_{x}=0,1234,\qquad e=2,\qquad g_{x}=0,56,
ou seja
x = 0,1234\times10^{2} + 0,56\times10^{-2}.
(Verifique: 0,1234\times10^{2}=12,34 e 0,56\times10^{-2}=0,0056, soma 12,3456 que é o x original.)

Passo 5

Agora calculamos \bar{x} por arredondamento simétrico para t=4 dígitos.
  • Regra do arredondamento: observamos o quinto dígito significativo (depois dos quatro que vamos manter). A mantissa original é 0,123456. Os quatro primeiros dígitos são 1,2,3,4. O quinto dígito é 5 e há dígitos seguintes não nulos (o sexto dígito é 6), portanto, ao arredondar para 4 dígitos, fazemos “arredondar para cima” o quarto dígito.
  • Assim a mantissa arredondada fica 0,1235.
  • Multiplicando pelo expoente 10^{2},
\bar{x} = 0,1235\times10^{2} = 12,35.

Passo 6

Agora os limites superiores para o erro absoluto e relativo quando se arredonda para t dígitos na base \beta.
  • Conceito: ao aproximar um número real por um número de ponto flutuante com t dígitos por arredondamento, o erro absoluto máximo na mantissa é no máximo metade da unidade na última casa de mantissa. Em termos da quantidade total isso dá a desigualdade geral
\left|E A_{x}\right| \le \frac{1}{2}\beta^{\,e-t}.
Aqui \beta^{\,e-t} representa a posição da última casa mantissária quando o número é multiplicado por \beta^{e}.
  • Substituindo \beta=10, e=2, t=4:
\left|E A_{x}\right| \le \frac{1}{2}\times10^{\,2-4} = \frac{1}{2}\times10^{-2} = 0,005.
  • Para o erro relativo máximo (definido como \left|E R_{x}\right|=\dfrac{\left|E A_{x}\right|}{|x|}), existe uma cota independente do valor de x dentro do intervalo normalizado: ao arredondar por proximidade a cota relativa máxima é
\left|E R_{x}\right| \le \frac{1}{2}\beta^{\,1-t}.
Isto vem do fato de que, para números normalizados com mantissa na faixa [1,\beta), dividir por x (que tem magnitude ao menos \beta^{\,e-1}) conduz a esse fator \beta^{\,1-t}/2.
  • Substituindo \beta=10 e t=4:
\left|E R_{x}\right| \le \frac{1}{2}\times10^{\,1-4} = \frac{1}{2}\times10^{-3} = 5\times10^{-4}.

Passo 7

Para confirmar, calculemos o erro efetivo e compare com as cotas:
  • Erro absoluto real:
E A_{x} = \bar{x}-x = 12,35-12,3456 = 0,0044,
que satisfaz \;0,0044 \le 0,005.
  • Erro relativo real:
E R_{x} = \frac{E A_{x}}{x} = \frac{0,0044}{12,3456}\approx 3,565\times10^{-4},
que satisfaz \;3,565\times10^{-4}\le 5\times10^{-4}.
Assim as cotas encontradas são consistentes com o resultado numérico.

Resposta

(a) x = 0,1234\times10^{2} + 0,56\times10^{-2}
(b) \bar{x} = 0,1235\times10^{2} = 12,35
(c) \left|E A_{x}\right| \le 0,005,\quad \left|E R_{x}\right| \le 5\times10^{-4}

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