Considere um sistema de aritmética de ponto flutuante com
dígitos na mantissa e base
. Seja o número
.
(a) Represente
na forma
(b) Calcule
por arredondamento simétrico
(c) Determine os limites superiores para
e
(a) Represente
(b) Calcule
(c) Determine os limites superiores para
Passo 1
O enunciado dá um sistema de ponto flutuante com
dígitos na mantissa e base
. O número é
. As perguntas são:
(a) Representar na forma
.
(b) Calcular obtido por arredondamento simétrico para
dígitos.
(c) Determinar limites superiores para (erro absoluto máximo) e
(erro relativo máximo).
Informações relevantes extraídas do enunciado: ,
,
. Não se faz ainda nenhum cálculo neste passo.
(a) Representar
(b) Calcular
(c) Determinar limites superiores para
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Primeiro vou colocar
em forma decimal normal para trabalhar com mais clareza. Multiplicando:
Isto é apenas uma expressão equivalente de
em notação usual.
Passo 3
Agora vamos construir a representação pedida da forma
.
- Explicação do que vamos fazer: para ter
dígitos na mantissa, mantemos os 4 primeiros dígitos significativos da mantissa original e colocamos o resto na parte . Aqui é natural escolher o expoente (o enunciado já usa ), portanto usamos a forma com mantissa escrita como . - Pegando os primeiros
dígitos da mantissa , obtemos . - O termo restante
deve compensar a diferença entre e . Calculamos essa diferença:
- Como
, obtemos resolvendo
Passo 4
Consolidando a resposta da parte (a):
com os valores encontrados:
ou seja
(Verifique:
e
, soma
que é o
original.)
Passo 5
Agora calculamos
por arredondamento simétrico para
dígitos.
- Regra do arredondamento: observamos o quinto dígito significativo (depois dos quatro que vamos manter). A mantissa original é
. Os quatro primeiros dígitos são . O quinto dígito é e há dígitos seguintes não nulos (o sexto dígito é ), portanto, ao arredondar para 4 dígitos, fazemos “arredondar para cima” o quarto dígito. - Assim a mantissa arredondada fica
. - Multiplicando pelo expoente
,
Passo 6
Agora os limites superiores para o erro absoluto e relativo quando se arredonda para
dígitos na base
.
- Conceito: ao aproximar um número real por um número de ponto flutuante com
dígitos por arredondamento, o erro absoluto máximo na mantissa é no máximo metade da unidade na última casa de mantissa. Em termos da quantidade total isso dá a desigualdade geral
Aqui
representa a posição da última casa mantissária quando o número é multiplicado por
.
- Substituindo
, , :
- Para o erro relativo máximo (definido como
), existe uma cota independente do valor de dentro do intervalo normalizado: ao arredondar por proximidade a cota relativa máxima é
Isto vem do fato de que, para números normalizados com mantissa na faixa
, dividir por
(que tem magnitude ao menos
) conduz a esse fator
.
- Substituindo
e :
Passo 7
Para confirmar, calculemos o erro efetivo e compare com as cotas:
- Erro absoluto real:
que satisfaz
.
- Erro relativo real:
que satisfaz
.
Assim as cotas encontradas são consistentes com o resultado numérico.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)