Deseja-se calcular:
no sistema
, usando arredondamento em todas as operações. Assim, efetue a soma:
(a) da esquerda para a direita;
(b) da direita para a esquerda.
Os valores obtidos em (a) e (b) são iguais?
(a) da esquerda para a direita;
(b) da direita para a esquerda.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos é dado\n
- Pede-se calcular
em ponto-flutuante no sistema
, usando arredondamento em todas as operações, e comparar os resultados quando a soma é feita:\n
(a) da esquerda para a direita;\n
(b) da direita para a esquerda.\n
(a) da esquerda para a direita;\n
(b) da direita para a esquerda.\n
- Informações relevantes fornecidas: o sistema é
(base , precisão algarismos significativos, expoentes entre e ). Devemos arredondar em todas as operações. Não foi dada regra de empate para arredondamento; vou adotar a convenção padrão “arredondamento para o mais próximo, empates para o algarismo par” (round-to-nearest, ties-to-even), e vou explicitar isso quando necessário.
Passo 2
O que significa trabalhar em
e como vamos proceder (aulas rápidas)\n
- Representação: todo número normalizado nesta máquina tem a forma
com e exatamente 3 dígitos significativos . Exemplo: = , = .\n - Arredondamento: sempre que uma operação (ou a inicialização de um número) produzir mais de 3 dígitos significativos, arredondamos para 3 dígitos. A regra usada aqui: arredondamento para o mais próximo; se o que fica fora for exatamente metade (ex.: …1250…), usamos ties-to-even (o último dígito mantido é par, então não sobe). Vou indicar explicitamente quando houver um “empate”.\n
- Alinhamento em soma: para somar dois números representados, alinham-se as potências de 10 (como em papel), somam-se os mantissas e depois normaliza-se e arredonda-se o resultado para 3 dígitos. E lembrando: segundo o enunciado, devemos arredondar “em todas as operações”, ou seja, cada adição tem seu resultado imediatamente arredondado antes de seguir.
Passo 3
Calcular cada termo
e representá-lo na máquina (arredondando cada termo para 3 algarismos significativos)\n
Vou apresentar o valor exato aproximado decimal e a representação normalizada em .\n
Vou apresentar o valor exato aproximado decimal e a representação normalizada em
-
. Representação: .\n -
. Representação: .\n -
. Arredondando a 3 dígitos: .\n -
. Representação: .\n -
. Representação: .\n -
. Arredondando: (pois e arredonda para ).\n -
. Arredondando: .\n -
. Normalizado é . Aqui temos exatamente um caso de 5 na posição seguinte ao terceiro dígito: . Pelo critério ties-to-even, o terceiro dígito (2) é par, então não arredondamos para cima. Assim representamos .\n -
. Arredondando: .\n -
. Representação: .\n
Resumo (mantissa × potência):\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
\n
(estes são os operandos que vamos somar; cada um já está na forma da máquina com 3 dígitos significativos.)
Passo 4
Soma (a) — da esquerda para a direita: inicializar
e somar
em ordem, arredondando após cada adição\n
-
.\n -
. Cálculo: . Já tem 3 dígitos: .\n -
. . Arredondando a 3 dígitos: (o quarto dígito é 2, não arredonda).\n -
. . Aqui temos um 5 na posição seguinte (empate). Pelo ties-to-even, o terceiro dígito atual é (par), então mantemos: .\n -
. . .\n -
. . Arredondando a 3 dígitos: (pois o dígito seguinte torna arredondamento para cima obrigatório).\n -
. . Arredondando: .\n -
. . Arredondando: .\n -
. . Arredondando: .\n -
. . .\n
Resultado da soma esquerda→direita:.
Passo 5
Soma (b) — da direita para a esquerda: inicializar
e somar
em ordem, arredondando após cada adição\n
-
\n -
. . Representação: .\n -
. . .\n -
. . Normalizado: . Arredondando a 3 dígitos: .\n -
. . Normalizado: . Arredondando: .\n -
. . Normalizado: . Arredondando: .\n -
. . Normalizado: . Arredondando: .\n -
. . Normalizado: . Arredondando: .\n -
. . Normalizado já . Arredondando a 3 dígitos: (pois aproxima-se de ).\n -
. . .\n
Resultado da soma direita→esquerda:.
Passo 6
Comparação e interpretação final (motivo da diferença)\n
- Obtivemos para (a) soma da esquerda para a direita:
.\n - Para (b) soma da direita para a esquerda:
.\n - Não são iguais: a ordem de soma em aritmética de ponto flutuante com precisão limitada e arredondamento pode alterar o resultado. Intuição: somar números pequenos entre si primeiro (direita→esquerda) preserva mais erros relativos e evita que termos pequenos “sejam engolidos” ao somar com um acumulador muito maior; somar do maior para o menor (esquerda→direita, começando por
) faz que termos pequenos tenham menos efeito depois de muitos arredondamentos, causando diferença final.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
Não, os valores obtidos em (a) e (b) não são iguais.
(b)
Não, os valores obtidos em (a) e (b) não são iguais.