Deseja-se calcular:
S=\sum_{k=1}^{10} \frac{2}{k^{2}}
no sistema F(10,3,-5,4), usando arredondamento em todas as operações. Assim, efetue a soma:
(a) da esquerda para a direita;
(b) da direita para a esquerda.
Os valores obtidos em (a) e (b) são iguais?

Passo 1

O que o problema pede e o que nos é dado\n
  • Pede-se calcular S=\sum_{k=1}^{10}\frac{2}{k^{2}}
em ponto-flutuante no sistema \,F(10,3,-5,4)\,, usando arredondamento em todas as operações, e comparar os resultados quando a soma é feita:\n
(a) da esquerda para a direita;\n
(b) da direita para a esquerda.\n
  • Informações relevantes fornecidas: o sistema é \,F(10,3,-5,4)\, (base \,10, precisão \,3 algarismos significativos, expoentes entre \,-5 e \,4). Devemos arredondar em todas as operações. Não foi dada regra de empate para arredondamento; vou adotar a convenção padrão “arredondamento para o mais próximo, empates para o algarismo par” (round-to-nearest, ties-to-even), e vou explicitar isso quando necessário.

Passo 2

O que significa trabalhar em F(10,3,-5,4) e como vamos proceder (aulas rápidas)\n
  • Representação: todo número normalizado nesta máquina tem a forma \,d_0.d_1d_2\times10^{e}\, com d_0\in\{1,\dots,9\} e exatamente 3 dígitos significativos (d_0,d_1,d_2). Exemplo: 2 = 2.00\times10^{0}, 0{,}5 = 5.00\times10^{-1}.\n
  • Arredondamento: sempre que uma operação (ou a inicialização de um número) produzir mais de 3 dígitos significativos, arredondamos para 3 dígitos. A regra usada aqui: arredondamento para o mais próximo; se o que fica fora for exatamente metade (ex.: …1250…), usamos ties-to-even (o último dígito mantido é par, então não sobe). Vou indicar explicitamente quando houver um “empate”.\n
  • Alinhamento em soma: para somar dois números representados, alinham-se as potências de 10 (como em papel), somam-se os mantissas e depois normaliza-se e arredonda-se o resultado para 3 dígitos. E lembrando: segundo o enunciado, devemos arredondar “em todas as operações”, ou seja, cada adição tem seu resultado imediatamente arredondado antes de seguir.

Passo 3

Calcular cada termo a_k=\dfrac{2}{k^{2}} e representá-lo na máquina (arredondando cada termo para 3 algarismos significativos)\n
Vou apresentar o valor exato aproximado decimal e a representação normalizada em F(10,3,-5,4).\n
  • k=1:\; \dfrac{2}{1^2}=2. Representação: \,2{,}00\times10^{0}.\n
  • k=2:\; \dfrac{2}{4}=0{,}5. Representação: \,5{,}00\times10^{-1}.\n
  • k=3:\; \dfrac{2}{9}\approx0{,}222222\ldots. Arredondando a 3 dígitos: \,2{,}22\times10^{-1}.\n
  • k=4:\; \dfrac{2}{16}=0{,}125. Representação: \,1{,}25\times10^{-1}.\n
  • k=5:\; \dfrac{2}{25}=0{,}08. Representação: \,8{,}00\times10^{-2}.\n
  • k=6:\; \dfrac{2}{36}\approx0{,}0555555\ldots. Arredondando: \,5{,}56\times10^{-2} (pois 0{,}055555\ldots = 5{,}5555\times10^{-2} e arredonda para 5{,}56).\n
  • k=7:\; \dfrac{2}{49}\approx0{,}0408163265. Arredondando: \,4{,}08\times10^{-2}.\n
  • k=8:\; \dfrac{2}{64}=0{,}03125. Normalizado é 3{,}125\times10^{-2}. Aqui temos exatamente um caso de 5 na posição seguinte ao terceiro dígito: 3{,}125. Pelo critério ties-to-even, o terceiro dígito (2) é par, então não arredondamos para cima. Assim representamos \,3{,}12\times10^{-2}.\n
  • k=9:\; \dfrac{2}{81}\approx0{,}024691358. Arredondando: \,2{,}47\times10^{-2}.\n
  • k=10:\; \dfrac{2}{100}=0{,}02. Representação: \,2{,}00\times10^{-2}.\n
    Resumo (mantissa × potência):\n
    \,a_1=2{,}00\times10^{0}\n
    \,a_2=5{,}00\times10^{-1}\n
    \,a_3=2{,}22\times10^{-1}\n
    \,a_4=1{,}25\times10^{-1}\n
    \,a_5=8{,}00\times10^{-2}\n
    \,a_6=5{,}56\times10^{-2}\n
    \,a_7=4{,}08\times10^{-2}\n
    \,a_8=3{,}12\times10^{-2}\n
    \,a_9=2{,}47\times10^{-2}\n
    \,a_{10}=2{,}00\times10^{-2}\n
    (estes são os operandos que vamos somar; cada um já está na forma da máquina com 3 dígitos significativos.)

Passo 4

Soma (a) — da esquerda para a direita: inicializar s=a_1 e somar a_2,a_3,\dots,a_{10} em ordem, arredondando após cada adição\n
  1. s_1 = a_1 = 2{,}00\times10^{0}.\n
  2. s_2 = \text{round}(s_1 + a_2). Cálculo: 2{,}00 + 0{,}500 = 2{,}500. Já tem 3 dígitos: \,s_2=2{,}50\times10^{0}.\n
  3. s_3 = \text{round}(s_2 + a_3). 2{,}50 + 0{,}222 = 2{,}722. Arredondando a 3 dígitos: \,2{,}72\times10^{0} (o quarto dígito é 2, não arredonda).\n
  4. s_4 = \text{round}(s_3 + a_4). 2{,}72 + 0{,}125 = 2{,}845. Aqui temos um 5 na posição seguinte (empate). Pelo ties-to-even, o terceiro dígito atual é 4 (par), então mantemos: \,s_4=2{,}84\times10^{0}.\n
  5. s_5 = \text{round}(s_4 + a_5). 2{,}84 + 0{,}080 = 2{,}920. \,s_5=2{,}92\times10^{0}.\n
  6. s_6 = \text{round}(s_5 + a_6). 2{,}92 + 0{,}0556 = 2{,}9756. Arredondando a 3 dígitos: \,2{,}98\times10^{0} (pois o dígito seguinte torna arredondamento para cima obrigatório).\n
  7. s_7 = \text{round}(s_6 + a_7). 2{,}98 + 0{,}0408 = 3{,}0208. Arredondando: \,3{,}02\times10^{0}.\n
  8. s_8 = \text{round}(s_7 + a_8). 3{,}02 + 0{,}0312 = 3{,}0512. Arredondando: \,3{,}05\times10^{0}.\n
  9. s_9 = \text{round}(s_8 + a_9). 3{,}05 + 0{,}0247 = 3{,}0747. Arredondando: \,3{,}07\times10^{0}.\n
  10. s_{10} = \text{round}(s_9 + a_{10}). 3{,}07 + 0{,}02 = 3{,}09. \,s_{10}=3{,}09\times10^{0}.\n
    Resultado da soma esquerda→direita: \,3{,}09.

Passo 5

Soma (b) — da direita para a esquerda: inicializar r=a_{10} e somar a_9,a_8,\dots,a_1 em ordem, arredondando após cada adição\n
  1. r_1 = a_{10} = 2{,}00\times10^{-2}=0{,}02.\n
  2. r_2 = \text{round}(r_1 + a_9). 0{,}02 + 0{,}0247 = 0{,}0447. Representação: \,4{,}47\times10^{-2}.\n
  3. r_3 = \text{round}(r_2 + a_8). 0{,}0447 + 0{,}0312 = 0{,}0759. \,r_3=7{,}59\times10^{-2}.\n
  4. r_4 = \text{round}(r_3 + a_7). 0{,}0759 + 0{,}0408 = 0{,}1167. Normalizado: 1{,}167\times10^{-1}. Arredondando a 3 dígitos: \,1{,}17\times10^{-1}.\n
  5. r_5 = \text{round}(r_4 + a_6). 0{,}1167 + 0{,}0556 = 0{,}1723. Normalizado: 1{,}723\times10^{-1}. Arredondando: \,1{,}72\times10^{-1}.\n
  6. r_6 = \text{round}(r_5 + a_5). 0{,}1723 + 0{,}08 = 0{,}2523. Normalizado: 2{,}523\times10^{-1}. Arredondando: \,2{,}52\times10^{-1}.\n
  7. r_7 = \text{round}(r_6 + a_4). 0{,}2523 + 0{,}125 = 0{,}3773. Normalizado: 3{,}773\times10^{-1}. Arredondando: \,3{,}77\times10^{-1}.\n
  8. r_8 = \text{round}(r_7 + a_3). 0{,}3773 + 0{,}222 = 0{,}5993. Normalizado: 5{,}993\times10^{-1}. Arredondando: \,5{,}99\times10^{-1}.\n
  9. r_9 = \text{round}(r_8 + a_2). 0{,}5993 + 0{,}5 = 1{,}0993. Normalizado já 1{,}0993\times10^{0}. Arredondando a 3 dígitos: \,1{,}10\times10^{0} (pois 1{,}0993 aproxima-se de 1{,}10).\n
  10. r_{10} = \text{round}(r_9 + a_1). 1{,}10 + 2{,}00 = 3{,}10. \,r_{10}=3{,}10\times10^{0}.\n
    Resultado da soma direita→esquerda: \,3{,}10.

Passo 6

Comparação e interpretação final (motivo da diferença)\n
  • Obtivemos para (a) soma da esquerda para a direita: \,3{,}09.\n
  • Para (b) soma da direita para a esquerda: \,3{,}10.\n
  • Não são iguais: a ordem de soma em aritmética de ponto flutuante com precisão limitada e arredondamento pode alterar o resultado. Intuição: somar números pequenos entre si primeiro (direita→esquerda) preserva mais erros relativos e evita que termos pequenos “sejam engolidos” ao somar com um acumulador muito maior; somar do maior para o menor (esquerda→direita, começando por 2) faz que termos pequenos tenham menos efeito depois de muitos arredondamentos, causando diferença final.

Resposta

(a) 3{,}09\n
(b) 3{,}10\n
Não, os valores obtidos em (a) e (b) não são iguais.

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