(Teorema da Limitação) Prove que se lim x a f(x)=L, então existem números positivos N e de<a1 tais que |f(x)|<N sempre que |x-a|<de<a1.

Passo 1

O enunciado afirma que limxto af(x)=L e pede para mostrar que f fica limitada num entorno de a. O conteúdo usado será a definição de limite via varepsilon- de<a e a desigualdade triangular.

Passo 2

Pela definição de limite, para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que
|x - a| < de<a Longrightarrow |f(x) - L| < varepsilon

Passo 3

Escolhemos um valor específico de varepsilon, por exemplo varepsilon = 1. Então existe de<a1>0 tal que
|x - a| < de<a1 Longrightarrow |f(x) - L| < 1

Passo 4

Para x satisfazendo |x - a|<de<a1, aplicamos a desigualdade triangular:
|f(x)| = |,f(x)-L + L,|<= |f(x)-L| + |L| < 1 + |L|
Logo basta tomar
N = 1 + |L|

Passo 5

Concluímos que existem N=1+|L| e de<a1>0 tais que sempre que |x-a|<de<a1 temos |f(x)|<N, ou seja, f é limitada num entorno de a.

Resposta

Tomando varepsilon=1 na definição de limite, obtemos de<a1>0 e, usando a desigualdade triangular, escolhemos N=1+|L|. Então |x-a|<de<a1 implica |f(x)|<N, como desejado.

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