(Teorema da Limitação) Prove que se
, então existem números positivos
e
tais que
sempre que
.
Passo 1
O enunciado afirma que
e pede para mostrar que
fica limitada num entorno de
. O conteúdo usado será a definição de limite via
-
e a desigualdade triangular.
Passo 2
Pela definição de limite, para todo
existe
tal que
Passo 3
Escolhemos um valor específico de
, por exemplo
. Então existe
tal que
Passo 4
Para
satisfazendo
, aplicamos a desigualdade triangular:
Logo basta tomar
Passo 5
Concluímos que existem
e
tais que sempre que
temos
, ou seja,
é limitada num entorno de
.
Resposta
Tomando
na definição de limite, obtemos
e, usando a desigualdade triangular, escolhemos
. Então
implica
, como desejado.