Utilizando a definição formal de limite, demonstre cada item abaixo:
lim x 5(x^2-3 x)=10

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos provar, usando a definição formal de limite ( epsilon de<a), que
limxto5l(x^2-3xr)=10
O conteúdo da matéria é a definição de limite de função em um ponto e vamos precisar manipular a expressão l|x^2-3x-10r| para encontrar uma relação entre epsilon e de<a.

Passo 2

A definição formal diz: dado varepsilon>0, devemos encontrar de<a>0 tal que, sempre que
0<|x-5|<de<a,
então
l|,x^2-3x-10r|<varepsilon

Passo 3

Começamos manipulando a expressão dentro do valor absoluto:
x^2-3x-10 = x^2-3x - l(5^2-3cdot5r) = x^2-3x-25+15 = x^2-3x-10,
mas o truque é fatorar:
x^2-3x-10 = (x-5)(x+2)
Logo,
l|,x^2-3x-10r| = |x-5|;|x+2|

Passo 4

Para controlar o fator |x+2|, escolhemos um limite provisório, por exemplo de<a1=1. Se |x-5|<1, então
4 < x < 6 Longrightarrow 6 < x+2 < 8 Longrightarrow |x+2|<= 8
Assim, sob a condição |x-5|<1, temos
l|,x^2-3x-10r| = |x-5|;|x+2| <= 8,|x-5|

Passo 5

Queremos agora garantir 8,|x-5|<varepsilon. Basta escolher
de<a2 = varepsilon8,
pois então, se |x-5|<de<a2, segue
l|,x^2-3x-10r|<= 8,|x-5|<8,de<a2 = varepsilon

Passo 6

Concluímos definindo
de<a = minl1,;varepsilon8r
Dessa forma, sempre que 0<|x-5|<de<a, temos simultaneamente |x-5|<1 e |x-5|<varepsilon/8, o que implica
l|x^2-3x-10r|<varepsilon
Assim, a condição da definição formal de limite está satisfeita.

Resposta

Portanto, por definição epsilon de<a, limxto5(x^2-3x)=10.

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