Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x infty x sen ax

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinfty x,sinax
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hôpital, que permite resolver casos do tipo tfrac00 ou tfracinftyinfty. Para usar a regra, vamos reescrever o produto como quociente.

Passo 2

Observe que
x,senax ;=; senax1/x

Passo 3

Quando xtoinfty, temos
sinaxtosin0=0
e
1/xto0,
logo o limite está na forma tfrac00 e podemos aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddxl(sinaxr) = cosax,ddxl(axr) = cosax,l(-ax^2r),
ddxl(1xr) = -1x^2
Pelo L’Hôpital,
limxtoinfty x,sinax = limxtoinftysinax1/x = limxtoinfty-ax^2cosax-1x^2 = limxtoinftyacosax

Passo 5

Para xtoinfty, tfracaxto0 e portanto cosaxtocos0=1. Assim,
limxtoinftyacosax=acdot1=a

Passo 6

Concluímos que
limxtoinfty x,senax = a

Resposta

a

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