Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x 1 ln (x) ln (x-1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1^+ln(x),ln(x-1)
Aqui vemos que, quando xto1^+, temos ln(x)to0 e ln(x-1)to-infty, ou seja, uma forma indeterminada do tipo 0cdot(-infty). Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, mas primeiro precisamos transformar o produto em um quociente de forma indeterminada 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Reescrevemos o produto como quociente:
ln(x),ln(x-1) =ln(x)1/ln(x-1)
Quando xto1^+, o numerador ln(x)to0 e o denominador 1/ln(x-1)to0 (pois ln(x-1)to-infty implica 1/ln(x-1)to0). Isso gera a forma indeterminada 0/0, permitindo aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
ddx[ln(x)] = 1x
– Denominador: seja g(x)=1/ln(x-1). Então
g'(x) =-1[ln(x-1)]^2cdotddx[ln(x-1)] =-1(x-1),[ln(x-1)]^2
Logo, pelo quociente de derivadas, o limite torna-se
limxto1^+ln(x)1/ln(x-1) =limxto1^+1x-1(x-1)[ln(x-1)]^2 =-limxto1^+(x-1)[ln(x-1)]^2x

Passo 4

Para xto1^+, ponha t=x-1to0^+. Então ln(x-1)=ln(t)to-infty e
t,[ln(t)]^2 ;longrightarrow;0,
pois t tende a zero “muito mais rápido” do que [ln(t)]^2 cresce. Além disso, xto1 no denominador x. Assim
-limxto1^+(x-1)[ln(x-1)]^2x =-01 =0

Resposta

0

Exercícios relacionados