Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x infty x^1 / x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
L = limxtoinfty x^1/x
Usaremos a técnica de transformar a expressão em exponencial via logaritmo natural e, na sequência, aplicaremos a regra de L’Hôpital para resolver o indeterminado que surgir.

Passo 2

Definimos
y = x^1/x
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
ln y = ln xx
Agora nosso objetivo é encontrar
limxtoinfty ln y
e depois passar de volta para y.

Passo 3

Observe que
limxtoinfty ln xx
é da forma infty/infty. Aplicando L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
ddx(ln x) = 1x, ddx(x) = 1
Logo,
limxtoinfty ln xx = limxtoinfty 1/x1 = limxtoinfty 1x = 0

Passo 4

Chegamos a
limxtoinfty ln y = 0
Como a função exponencial é contínua, podemos passar do logaritmo para a própria variável:
limxtoinfty y = limxtoinfty e^ln y = e^0 = 1

Resposta

boxed1

Exercícios relacionados