Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a Regra de L’Hôpital quando necessário. Vamos usar a ideia de reescrever a potência como exponencial e depois estudar o limite do seu logaritmo natural.
Passo 2
Defina
Para facilitar o cálculo, tome o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 3
Precisamos avaliar
Ao fazer
temos
e
, ou seja, forma indeterminada
. Para usar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
pois
.
Passo 4
Agora o limite fica
que é da forma
. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador.
Passo 5
Calcule as derivadas:
– Numerador: .
– Denominador: .
Logo, por L’Hôpital,
– Numerador:
– Denominador:
Logo, por L’Hôpital,
Passo 6
Use as identidades
e
:
Então
Quando
,
e
, logo
Portanto
.
Passo 7
Como
segue que