Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x 0^+ x^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+ x^sin(x)
usando a Regra de L’Hôpital quando necessário. Vamos usar a ideia de reescrever a potência como exponencial e depois estudar o limite do seu logaritmo natural.

Passo 2

Defina
y = x^sen(x)
Para facilitar o cálculo, tome o logaritmo natural em ambos os lados:
ln y = sen(x),ln(x)

Passo 3

Precisamos avaliar
limxto0^+ln y = limxto0^+l(sin(x),ln(x)r)
Ao fazer xto0^+ temos sin(x)to0 e ln(x)to -infty, ou seja, forma indeterminada 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
sin(x),ln(x) = ln(x)csc(x),
pois csc(x)=1/sin(x).

Passo 4

Agora o limite fica
limxto0^+ln(x)csc(x),
que é da forma -infty/infty. Podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador.

Passo 5

Calcule as derivadas:
– Numerador: l(ln(x)r)' = 1/x.
– Denominador: l(csc(x)r)' = -csc(x)cot(x).
Logo, por L’Hôpital,
limxto0^+ln(x)csc(x) = limxto0^+tfrac1x-,csc(x)cot(x) = -limxto0^+1x,csc(x),cot(x)

Passo 6

Use as identidades csc(x)=1/sen(x) e cot(x)=cos(x)/sen(x):
x,csc(x),cot(x) = x;1sen(x);cos(x)sen(x) = xcos(x)sen^2(x)
Então
-,1x,csc(x)cot(x) = -,sen^2(x)xcos(x)
Quando xto0^+, sen(x)sim x e cos(x)to1, logo
limxto0^+l(-,sen^2(x)xcos(x)r) = limxto0^+l(-,x^2xcdot1r) = limxto0^+(-x) = 0
Portanto limxto0^+ln y = 0.

Passo 7

Como
limxto0^+ln y = 0,
segue que
limxto0^+y = limxto0^+e^ln y = e^0 = 1

Resposta

1

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