Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x infty(xx^2+1)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxtoinftyl(xx^2+1r)^x.
Como, para xtoinfty, o quociente tfracxx^2+1to0 e o expoente xtoinfty, temos uma indeterminação do tipo 0^infty. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
f(x)=l(xx^2+1r)^x
e consideramos a função auxiliar
g(x)=ln f(x)
Então, usando propriedades de logaritmo,
g(x)=xl(ln x-ln(x^2+1)r)

Passo 3

Para simplificar g(x), aplicamos
ln(x^2+1)=2ln x+lnl(1+tfrac1x^2r)
Substituindo em g(x), obtemos
g(x) = xl(ln x-2ln x-ln(1+1/x^2)r) = -,xln x ;-; xlnl(1+1/x^2r)

Passo 4

Agora analisamos limxtoinftyg(x). Note que
ln(1+1/x^2)sim 1/x^2 quando xtoinfty, logo
xlnl(1+1/x^2r)sim xcdot1x^2=1xto0
Por outro lado,
-,xln xto -infty
Portanto
limxtoinftyg(x)=-infty

Passo 5

Como ln f(x)=g(x)to -infty, segue que f(x)to0. Assim
limxtoinftyl(xx^2+1r)^x = 0

Resposta

0

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