Terceira Avaliação
Encontre a série de Taylor da função
ao redor do ponto
. Justifique suas respostas. Caso não saiba questão alguma, relate o que sabe. Abra seu coração ワDO.
Encontre a série de Taylor da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno do ponto $ x = 1 $. Isso significa que vamos escrever a função como uma soma infinita de termos polinomiais centrados em $ x = 1 $. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular a série de Taylor de uma função e entender algumas propriedades das funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Taylor. Ela é uma maneira de aproximar uma função suave (diferenciável várias vezes) usando polinômios. A fórmula geral da série de Taylor de uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ a $ é:
Aqui, $ f^{(n)}(a) $ é a $ n $-ésima derivada de $ f $ avaliada em $ a $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar essa série para $ f(x) = e^{2x} $ em torno de $ a = 1 $. Então, vamos precisar calcular as derivadas de $ f(x) $ e avaliá-las em $ x = 1 $.
A função $ e^{2x} $ tem uma propriedade bem legal: todas as suas derivadas são múltiplos de $ e^{2x} $. Vamos ver:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas em $ x = 1 $:
Substituindo isso na fórmula da série de Taylor:
Passo 5
Podemos simplificar um pouco essa expressão. Note que $ e^{2} $ é uma constante e pode ser fatorado para fora da soma:
Isso nos leva a reconhecer a série de Taylor da função exponencial $ e^{k} $, que é:
Nesse caso, $ k = 2(x - 1) $, então:
Confirmando que nossa série de Taylor está correta.
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = e^{2x} $ em torno de $ x = 1 $ é: