Um termômetro de gás de volume constante foi calibrado pela seguinte equação: P=4,0 cdot 10^-3 T+0,50 para a pressão em atm e temperatura em ^circ C. Foram medidas as seguintes pressões: Pi=0,58 atm e Pf=0,74 atm, como pressão inicial e final, respectivamente. Ele foi então utilizado para o estudo da dilatação de materiais.
O cubo de cobre na tèmperatura inicial é cortado em 4 barras de 1 metro de comprimento cada. As barras são colocadas enfileiradas, uma seguida da outra pelo lado mais comprido, formando uma linha. As barras são aquecidos à temperatura de 60^circ C. Qual o comprimento final formado pelo conjunto das 4 barras? Considere que as barras podem se mover durante a dilatação sem se deformar, formando uma linha contínua.

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando é o seguinte: a gente tem um termômetro de gás a volume constante cuja calibração é dada por
P = 4,0times10^-3,T + 0,50,,
com De em atm e em °C. Mediram duas pressões:
  • pressão inicial ,
  • pressão final .
Com essas pressões a gente descobre as temperaturas inicial e final do termômetro.
Depois, essas barras de cobre (4 delas, cada uma com 1 m a princípio) vão de uma temperatura inicial até 60 °C, e aí a gente calcula quanto elas crescem.
Conteúdo/matéria que vamos usar:
  1. Conversão de pressão em temperatura usando a equação de calibração.
  2. Dilatação linear de um material, com a fórmula
onde é o coeficiente de dilatação linear do cobre.

Passo 2

Primeiro, descobrimos a temperatura inicial Pi = 4,0times10^-3,Ti + 0,50 Longrightarrow Ti = Pi - 0,504,0times10^-3, usando Ti = 0,58 - 0,504,0times10^-3 = 0,080,004 = 20;^circC . Da equação:
Substituindo :

Passo 3

Agora fazemos o mesmo para Tf = Pf - 0,504,0times10^-3 = 0,74 - 0,500,004 = 0,240,004 = 60;^circC :
De
Deu certinho com o enunciado que as barras chegariam a 60 °C. Então a variação de temperatura é

Passo 4

Agora a parte da dilatação linear. A fórmula básica é
De
onde para o cobre usamos De.
Cada barra tinha L0,total = 4times1 = 4:m, a 20 °C e aumentou esse comprimento em
Lfinal = L0,total,(1 + alpha,De
Mas como são 4 barras enfileiradas, o comprimento total inicial é
e o aumento total também é 4 vezes , ou mais simplesmente:

Resposta

Lfinal = 4,mtimesl(1 + 6,8times10^-4r) = 4,mtimes1,00068 = 4,00272:m approx 4,003:m

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