A Terra, que não é uma esfera uniforme, possui momento de inércia igual a Iterra= 0,33 MR^2 em relação ao eixo que liga o polo Norte ao polo Sul. O tempo para a Terra completar um giro é 86164 s. Calcule:
© A energia cinética da Terra oriunda do movimento orbital em torno do Sol.
R: K=2,65 times 10 ^33 J.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Terra e quer saber qual é a energia cinética dela por causa do movimento orbital ao redor do Sol. Para isso, vamos usar conceitos de momento de inércia e energia cinética em movimento. Precisamos saber o momento de inércia da Terra, que já foi dado como $ I_{Terra} = 0,33 , M R^2 $, e o tempo que ela leva para completar uma rotação, que é de 86164 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a energia cinética de um corpo em movimento de rotação. A fórmula para a energia cinética rotacional é:
K = 12 I omega^2
Aqui, $ I $ é o momento de inércia e $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a velocidade angular $ \omega $. Sabemos que a Terra leva 86164 segundos para dar uma volta completa. A velocidade angular é calculada por:
omega
Onde $ T $ é o período de rotação. Vamos calcular isso:
omega = 2piT

Passo 4

Com $ \omega $ em mãos, vamos substituir na fórmula da energia cinética:
omega

Passo 5

Agora, precisamos dos valores da massa $ M $ da Terra e do raio $ R $. Sabemos que:
  • Massa da Terra, $ M \approx 5,97 \times 10^{24} , kg $
  • Raio da Terra, $ R \approx 6,37 \times 10^{6} , m $
Vamos substituir esses valores na equação:
M

Passo 6

Fazendo as contas:
  1. Calculamos $ R^2 $:
R^2
  1. Calculamos $ \omega^2 $:
(6,37 times 10^6)^2 = 4,06 times 10^13 , m^2
  1. Multiplicamos todos os valores:
omega^2
(7,292 times 10^-5)^2 = 5,31 times 10^-9 , rad^2/s^2

Resposta

A energia cinética da Terra oriunda do movimento orbital em torno do Sol é aproximadamente $ K = 2,65 \times 10^{33} , J $.

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