Num terreno de forma retangular de 30,0 \mathrm{~m} \times 45,0 \mathrm{~m} (largura \times comprimento) deseja-se construir um muro. Se se dispõe de um papel cuja parte útil seja de 18,2 \mathrm{cm} \times 27,0 \mathrm{~cm}, qual deve ser a escala utilizada no desenho do muro?

Passo 1

O enunciado dá as dimensões do terreno retangular (largura × comprimento) e as dimensões da parte útil do papel disponível, e pede qual escala usar para desenhar o muro. Dados fornecidos:
\text{Terreno: }30,0\\ \mathrm{m}\times 45,0\\ \mathrm{m}
\text{Papel útil: }18,2\\ \mathrm{cm}\times 27,0\\ \mathrm{cm}ú
O que se pergunta: qual escala adotar para que o desenho do retângulo do terreno caiba inteiramente na parte útil do papel.

Passo 2

Entendendo o que é escala e como vamos usá‑la (explicação didática):
  • Escala é a razão entre uma medida no desenho e a medida real. Se na representação usarmos a escala 1:n, isso significa que 1\\ \mathrm{cm} no desenho representa n\\ \mathrm{cm} na realidade.
  • Para calcular n a partir de uma dimensão qualquer, usamos
n=\frac{\text{medida real (em cm)}}{\text{medida no desenho (em cm)}},
ou seja, n=\dfrac{\text{real}}{\text{desenho}}.
  • Aqui precisamos de uma única escala que sirva para as duas dimensões (largura e comprimento). Para que o desenho caiba, o denominador n da escala 1:n tem de ser pelo menos tão grande quanto os valores exigidos por cada dimensão individual (valores maiores de n produzem desenhos menores).

Passo 3

Converter as medidas do terreno para centímetros (para usar as mesmas unidades do papel):
30,0\\ \mathrm{m}=30,0\times 100\\ \mathrm{cm}=3000\\ \mathrm{cm}
45,0\\ \mathrm{m}=45,0\times 100\\ \mathrm{cm}=4500\\ \mathrm{cm}

Passo 4

Calcular a escala necessária para que a largura caiba no papel (usar a largura do papel 18,2\\ \mathrm{cm}):
n_{\text{larg}}=\frac{3000}{18,2}\approx 164,835\ldots
Isto significa que, se fizéssemos 1:164{,}835, a largura do terreno ocuparia exatamente 18,2\\ \mathrm{cm} no papel.

Passo 5

Calcular a escala necessária para que o comprimento caiba no papel (usar o comprimento do papel 27,0\\ \mathrm{cm}):
n_{\text{comp}}=\frac{4500}{27,0}=166,\overline{6}=166{,}666\ldots
Isto significa que a menor escala que faz o comprimento caber exatamente é 1:166{,}666\ldots.

Passo 6

Decidir uma única escala válida para ambas as dimensões:
  • Para que ambos largura e comprimento caibam, precisamos de um n que satisfaça
n\ge \max\{n_{\text{larg}},\,n_{\text{comp}}\}=\max\{164{,}835\ldots,\,166{,}666\ldots\}=166{,}666\ldots
  • O valor exato mínimo é n=166{,}666\ldots (ou 166\frac{2}{3}), mas, na prática, usamos escalas com denominador inteiro ou uma aproximação simples. Devemos arredondar para cima para garantir que o desenho caiba no papel. Arredondando para inteiro por excesso, obtemos n=167.
  • Portanto, a escala prática escolhida é 1:167.

Passo 7

Verificar as dimensões desenhadas no papel usando a escala 1:167:
\text{largura no papel}=\frac{3000}{167}\approx 17{,}9641\\ \mathrm{cm}\le 18{,}2\\ \mathrm{cm}
\text{comprimento no papel}=\frac{4500}{167}\approx 26{,}9461\\ \mathrm{cm}\le 27{,}0\\ \mathrm{cm}
Ambas as medidas cabem confortavelmente na parte útil do papel.

Resposta

1:167

Exercícios relacionados