Teste 9 Considere a variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo [-1,2]. Então o valor esperado de |X| é igual a:
(A) \frac{1}{2}.
(B) \frac{3}{2}.
C 1 .
(D) \frac{3}{4}.
\frac{5}{6}.

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [-1,2]. A pergunta é: qual é o valor esperado de |X|? As alternativas são:
(A) \dfrac{1}{2}.
(B) \dfrac{3}{2}.
(C) 1.
(D) \dfrac{3}{4}.
(E) \dfrac{5}{6}.
Informações relevantes fornecidas:
  • O suporte de X é [-1,2].
  • A distribuição é uniforme nesse intervalo (isso determina a densidade).
  • Quer-se \mathbb{E}[\,|X|\,], o valor esperado da função g(X)=|X|.

Passo 2

Vamos recordar o conceito e a fórmula que vamos usar.
Para uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade f_X(x), o valor esperado de uma função g(X) é dado por
\mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\,f_X(x)\,dx,
ou seja, multiplicamos g(x) pela densidade e integramos sobre todo o eixo real (na prática só sobre o suporte).
Para a distribuição uniforme no intervalo [a,b], a densidade é constante igual a \dfrac{1}{b-a} para x\in[a,b] e zero fora. Aqui a=-1 e b=2, logo a densidade é
f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{3}, & x\in[-1,2],\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á]

Passo 3

Aplicando a fórmula de esperança para g(x)=|x| e usando a densidade uniforme, obtemos a integral
\mathbb{E}[\,|X|\,] = \int_{-1}^{2} |x| \cdot \dfrac{1}{3}\,dx = \dfrac{1}{3}\int_{-1}^{2} |x|\,dx.

Passo 4

Como |x| muda de expressão em x=0 (para x<0 temos |x|=-x; para x\ge0 temos |x|=x), é preciso separar a integral em dois pedaços no ponto 0:
\int_{-1}^{2} |x|\,dx = \int_{-1}^{0} (-x)\,dx + \int_{0}^{2} x\,dx.
Isso é apenas usar a definição da função valor absoluto e integrar em cada região onde ela tem expressão simples.

Passo 5

Calcular cada integral separadamente, mostrando todos os passos:
Para a parte [-1,0]:
\int_{-1}^{0} (-x)\,dx = \left[ -\dfrac{x^{2}}{2} \right]_{x=-1}^{x=0}.
Avaliaremos nos extremos:
\left. -\dfrac{x^{2}}{2} \right|_{-1}^{0} = \left(-\dfrac{0^{2}}{2}\right) - \left(-\dfrac{(-1)^{2}}{2}\right) = 0 - \left(-\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1}{2}.
Para a parte [0,2]:
\int_{0}^{2} x\,dx = \left[ \dfrac{x^{2}}{2} \right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2} - 0 = \dfrac{4}{2} = 2.

Passo 6

Somando as duas contribuições:
\int_{-1}^{2} |x|\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{2} = \dfrac{5}{2}.
Agora multiplicamos pelo fator \dfrac{1}{3} da densidade uniforme:
\mathbb{E}[\,|X|\,] = \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{6}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o procedimento foi escrever a esperança como uma integral, usar a densidade constante \tfrac{1}{3}, separar a integral no ponto em que |x| muda de expressão (0), calcular cada integral passo a passo e simplificar. Está tudo direitinho — você consegue fazer isso em prova também, é só lembrar de dividir pelo ponto onde o valor absoluto muda de sinal.

Resposta

\dfrac{5}{6}

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