Teste 9 Considere a variável aleatória X uniformemente distribuída no intervalo [-1,2]. Então o valor esperado de |X| é igual a:
(A) \frac{1}{2}.
(B) \frac{3}{2}.
C 1 .
(D) \frac{3}{4}.
□ \frac{5}{6}.
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [-1,2]. A pergunta é: qual é o valor esperado de |X|? As alternativas são:
(A) \dfrac{1}{2}.
(B) \dfrac{3}{2}.
(C) 1.
(D) \dfrac{3}{4}.
(E) \dfrac{5}{6}.
Informações relevantes fornecidas:
O suporte de X é [-1,2].
A distribuição é uniforme nesse intervalo (isso determina a densidade).
Quer-se \mathbb{E}[\,|X|\,], o valor esperado da função g(X)=|X|.
Passo 2
Vamos recordar o conceito e a fórmula que vamos usar.
Para uma variável aleatória contínua X com densidade de probabilidade f_X(x), o valor esperado de uma função g(X) é dado por
ou seja, multiplicamos g(x) pela densidade e integramos sobre todo o eixo real (na prática só sobre o suporte).
Para a distribuição uniforme no intervalo [a,b], a densidade é constante igual a \dfrac{1}{b-a} para x\in[a,b] e zero fora. Aqui a=-1 e b=2, logo a densidade é
Interpretação rápida e incentivo: o procedimento foi escrever a esperança como uma integral, usar a densidade constante \tfrac{1}{3}, separar a integral no ponto em que |x| muda de expressão (0), calcular cada integral passo a passo e simplificar. Está tudo direitinho — você consegue fazer isso em prova também, é só lembrar de dividir pelo ponto onde o valor absoluto muda de sinal.