Teste 8 Um fábrica produz diariamente 10 tambores com um produto. Sabe-se que a probabilidade de que haja um tambor com produto contaminado é 0,1 . Antes de enviar os 10 tambores para o estoque o produto contido nos tambores é inspecionado. Se um tambor for considerado contaminado, o tambor é separado. Na inspeção, há uma probabilidade de 0,1 de um tambor com produto contaminado ser aprovado e a probabilidade de um tambor com produto não contaminado ser separado é nula. Qual a probabilidade de exatamente um tambor ser separado ao fim de um dia?
A 0,91(0,09)^{9}.
  • 0,9(0,91)^{9}.
    (C) 0,1(0,9)^{9}.
    D (0,1)^{9}(0,91).
    (E) 0,09(0,91)^{9}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
  • Produzem-se diariamente 10 tambores; ou seja, n=10.
  • A probabilidade de um tambor ser contaminado é \,0,1.
  • Na inspeção: se um tambor está contaminado, a probabilidade de ele ser aprovado (erro de inspeção) é \,0,1; portanto a probabilidade de um tambor contaminado ser separado é \,0,9.
  • Se o tambor não está contaminado, a probabilidade de ser separado é 0 (ou seja, nunca se separa um não contaminado).
  • O enunciado pede: qual a probabilidade de exatamente um tambor ser separado ao fim do dia?

Passo 2

Entender o evento “um tambor ser separado” para um tambor isolado: usar a regra da probabilidade total condicionando pelo estado (contaminado ou não).
Seja S o evento “o tambor é separado”. Então
P(S)=P(S\mid \text{contaminado})\cdot P(\text{contaminado})+P(S\mid \text{não contaminado})\cdot P(\text{não contaminado}).ãã
Substituindo os números dados:
P(S)=0,9\cdot 0,1 + 0\cdot 0,9 = 0,09.
Portanto, para cada tambor individualmente, a probabilidade de ser separado é p=0,09. A probabilidade de não ser separado é 1-p=0,91.

Passo 3

Agora modelamos a contagem de tambores separados entre os n=10 tambores.
  • Pressupomos que as inspeções em tambores distintos são independentes (condição usual aqui: a inspeção de um tambor não altera a de outro). Assim, o número de tambores separados segue uma distribuição binomial com parâmetros n=10 e p=0,09.
  • Recordando a fórmula da binomial: a probabilidade de ocorrer exatamente k sucessos (aqui, tambores separados) é
P(X=k)=\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o número de maneiras de escolher quais k tambores dentre n são os separados.

Passo 4

Aplicar a fórmula para k=1, n=10, p=0,09.
Calcular o coeficiente combinatório:
\binom{10}{1}=10.
Substituindo na fórmula:
P(X=1)=\binom{10}{1}\, (0,09)^{1}\,(0,91)^{9}=10\cdot 0,09\cdot (0,91)^{9}.

Passo 5

Fazer uma simplificação aritmética simples:
10\cdot 0,09 = 0,9,
portanto a probabilidade procurada é
0,9\,(0,91)^{9}.

Resposta

0,9(0,91)^{9}

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