Teste 8 Um fábrica produz diariamente 10 tambores com um produto. Sabe-se que a probabilidade de que haja um tambor com produto contaminado é 0,1 . Antes de enviar os 10 tambores para o estoque o produto contido nos tambores é inspecionado. Se um tambor for considerado contaminado, o tambor é separado. Na inspeção, há uma probabilidade de 0,1 de um tambor com produto contaminado ser aprovado e a probabilidade de um tambor com produto não contaminado ser separado é nula. Qual a probabilidade de exatamente um tambor ser separado ao fim de um dia?
A
.
-
.
(C)
.
D
.
(E)
.
A
(C)
D
(E)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que é pedido.
- Produzem-se diariamente
tambores; ou seja, . - A probabilidade de um tambor ser contaminado é
. - Na inspeção: se um tambor está contaminado, a probabilidade de ele ser aprovado (erro de inspeção) é
; portanto a probabilidade de um tambor contaminado ser separado é . - Se o tambor não está contaminado, a probabilidade de ser separado é
(ou seja, nunca se separa um não contaminado). - O enunciado pede: qual a probabilidade de exatamente um tambor ser separado ao fim do dia?
Passo 2
Entender o evento “um tambor ser separado” para um tambor isolado: usar a regra da probabilidade total condicionando pelo estado (contaminado ou não).
Seja
o evento “o tambor é separado”. Então
Substituindo os números dados:
Portanto, para cada tambor individualmente, a probabilidade de ser separado é
. A probabilidade de não ser separado é
.
Passo 3
Agora modelamos a contagem de tambores separados entre os
tambores.
- Pressupomos que as inspeções em tambores distintos são independentes (condição usual aqui: a inspeção de um tambor não altera a de outro). Assim, o número de tambores separados segue uma distribuição binomial com parâmetros
e . - Recordando a fórmula da binomial: a probabilidade de ocorrer exatamente
sucessos (aqui, tambores separados) é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
tambores dentre
são os separados.
Passo 4
Aplicar a fórmula para
,
,
.
Calcular o coeficiente combinatório:
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Fazer uma simplificação aritmética simples:
portanto a probabilidade procurada é