Teste se os conjuntos de polinômios abaixo são linearmente independentes. Para os que forem linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é linearmente independente em .
O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação
é linearmente independente em
O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação
só pode ocorrer com a única solução
.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear e igualamos ao polinômio nulo:
Em seguida, expandimos e agrupamos termos semelhantes.
Passo 3
Expandindo, vemos que o coeficiente de
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
Logo
, e então
e
.
Passo 4
Como a única solução é
, concluímos que o conjunto é linearmente independente.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.