Teste se os conjuntos de polinômios abaixo são linearmente independentes. Para os que forem linearmente dependentes, expresse um dos polinômios como combinação linear dos demais.
1+x, 1+x^2, 1-x+x^2 em P2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
,1+x,;1+x^2,;1-x+x^2
é linearmente independente em P2.
O conteúdo que vamos usar é a definição de independência linear: uma combinação
a(1+x)+b(1+x^2)+c(1-x+x^2)=0
só pode ocorrer com a única solução a=b=c=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e igualamos ao polinômio nulo:
a(1+x)+b(1+x^2)+c(1-x+x^2)=0
Em seguida, expandimos e agrupamos termos semelhantes.

Passo 3

Expandindo, vemos que o coeficiente de
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
Logo , e então e .

Passo 4

Como a única solução é a=b=c=0, concluímos que o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto ,1+x,;1+x^2,;1-x+x^2 é linearmente independente em P2.

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