Um teste é constituído por uma pergunta com n alternativas. O indivíduo que o faz ou conhece a resposta ou responde ao acaso. Seja p a probabilidade de um indivíduo conhecer a resposta. Admitindo que a probabilidade de um indivíduo responder corretamente à questão dado que conhece a resposta é 1 e que a probabilidade de responder corretamente dado que responde ao acaso é 1 / n :
(a) Verifique que a probabilidade de um indivíduo não ter respondido ao acaso dado que respondeu corretamente é ^1
(b) Calcule a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso não responder corretamente à questão, supondo n p1+(n-1) p e p n=5

  1. =0.20 http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/

Passo 1

O enunciado descreve um teste com n alternativas em que o candidato ou conhece a resposta (probabilidade p) ou chuta ao acaso (probabilidade 1-p). Sabemos que
bul<=t ,P(corretamid conhece)=1 bul<=t ,P(corretamid chute)=tfrac1n
(a) pede a probabilidade de não ter chutado dado que acertou, isto é
,P(conhecemid correta).
(b) pede a probabilidade de não acertar para n=5 e p=0,20.

Passo 2

Primeiro, calculamos a probabilidade de acertar em termos de n e p. Chamando de C o evento “acertar” e de K o evento “conhece”, pela regra da probabilidade total:
P(C)=P(Cmid K)P(K)+P(Cmid K^c)P(K^c)
Como P(Cmid K)=1 e P(Cmid K^c)=1/n, temos
P(C)=1cdot p+1-pn =n p + (1-p)n =1 + (n-1)pn

Passo 3

Aplicamos o Teorema de Bayes para obter
P(Kmid C) =P(Cmid K),P(K)P(C) =1cdot p1+(n-1)pn =n p1+(n-1)p
Isso resolve a parte (a).

Passo 4

Para a parte (b), usamos n=5 e p=0,20. Primeiro,
P(C)=p+1-pn =0,20+0,805 =0,20+0,16 =0,36
Logo, a probabilidade de não acertar é
1-P(C)=1-0,36=0,64

Resposta

(a) n p1+(n-1)p
(b) 0,64

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