O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
O conteúdo principal aqui é o Critério de Leibniz (ou teste da série alternante) e, para verificar convergência absoluta, usamos o teste de comparação com a série harmônica.
Passo 2
Verificamos se os termos gerais
tendem a zero quando . Dividindo numerador e denominador por ,
Logo, , que é condição necessária para qualquer série convergir.
Passo 3
Precisamos agora mostrar que é monotonicamente decrescente a partir de certo . Considere a função
A derivada é
Para , temos , ou seja, . Assim, para todo ,
Então é decrescente a partir de .
Passo 4
Pelas condições do Critério de Leibniz — termos alternantes de módulo decrescente que tendem a zero — concluímos que
converge.
Passo 5
Agora testamos a convergência absoluta, isto é, da série
Para n grande, dfracnn^2+2sim dfrac1n e a série harmônica sum 1/n diverge. Pelo teste de comparação, sum n/(n^2+2) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.