Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty(-1)^n nn^2+2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternante
sumn=1^infty(-1)^nnn^2+2
O conteúdo principal aqui é o Critério de Leibniz (ou teste da série alternante) e, para verificar convergência absoluta, usamos o teste de comparação com a série harmônica.

Passo 2

Verificamos se os termos gerais
an = nn^2+2
tendem a zero quando ntoinfty. Dividindo numerador e denominador por n,
an = 1n + 2/nlongrightarrow 0
Logo, limntoinftyan=0, que é condição necessária para qualquer série convergir.

Passo 3

Precisamos agora mostrar que (an) é monotonicamente decrescente a partir de certo n. Considere a função
f(x) = xx^2+2, x>0
A derivada é
f'(x) = (x^2+2)cdot1 - xcdot2x(x^2+2)^2 = 2 - x^2(x^2+2)^2
Para x>raiz2, temos 2 - x^2<0, ou seja, f'(x)<0. Assim, para todo n>= 2,
an+1 = f(n+1) < f(n) = an
Então (an) é decrescente a partir de n=2.

Passo 4

Pelas condições do Critério de Leibniz — termos alternantes de módulo decrescente que tendem a zero — concluímos que
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Passo 5

Agora testamos a convergência absoluta, isto é, da série
sumn=1^inftyl|(-1)^nanr| = sumn=1^inftynn^2+2
Para n grande, dfracnn^2+2sim dfrac1n e a série harmônica sum 1/n diverge. Pelo teste de comparação, sum n/(n^2+2) também diverge. Logo, não há convergência absoluta.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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