Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=2^infty 1n ln n

Passo 1

A série em questão é sumn=2^infty 1nln n. O conteúdo aqui são séries de termos positivos, para as quais podemos usar o teste integral, que exige função contínua, positiva e decrescente em um intervalo [2,infty).

Passo 2

Definimos a função f(x)=1xln x para x>=2. Observamos que f(x)>0 e é contínua em [2,infty). Para ver que é decrescente, calculamos a derivada:
f'(x)=-ln x+1x^2(ln x)^2<0 para x>1,
logo f é decrescente em [2,infty).

Passo 3

Pelo teste integral, avaliamos a integral imprópria
integral2^infty dxxln x
Fazendo a substituição u=ln x e du=dx/x, transformamos em
integralln 2^infty duu =[ln u]ln 2^infty =limttoinfty(ln(ln t)-ln(ln 2)) =infty

Passo 4

Como a integral diverge, o teste integral nos diz que a série sumn=2^infty1nln n também diverge.

Resposta

A série diverge.

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