Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty ln nn^2

Passo 1

Estamos analisando a série sumn=1^inftyln nn^2. O conteúdo é teste de convergência de séries pelo teste da integral, e vamos precisar considerar a função f(x)=ln xx^2 para aplicar o teste.

Passo 2

Para usar o teste da integral, verificamos que f(x)=ln xx^2 é positiva, contínua e decrescente para x>=1. Assim, a convergência da série é equivalente à convergência da integral impropriada integral1^inftyln xx^2,dx.

Passo 3

Calculamos a integral por partes. Tomamos u=ln x e dv= x^-2,dx. Então du=1x,dx e v=-1x. Aplicando:
integral1^inftyln xx^2,dx = [-ln xx]1^infty + integral1^infty1xcdot1x,dx = limbtoinfty(-ln bb) + ln xx|1^infty - integral1^inftyx^-2,dx,
mas de forma mais direta obtemos
integral1^inftyln xx^2,dx = -ln xx|1^infty - 1x|1^infty = (0+1)=1

Passo 4

Como a integral converge (vale 1 e é finita), a série sumn=1^inftyln nn^2 converge por teste da integral.

Resposta

A série converge.

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