Estamos analisando a série . O conteúdo é teste de convergência de séries pelo teste da integral, e vamos precisar considerar a função para aplicar o teste.
Passo 2
Para usar o teste da integral, verificamos que é positiva, contínua e decrescente para . Assim, a convergência da série é equivalente à convergência da integral impropriada .
Passo 3
Calculamos a integral por partes. Tomamos e . Então e . Aplicando:
mas de forma mais direta obtemos integral1^inftyln xx^2,dx = -ln xx|1^infty - 1x|1^infty = (0+1)=1
Passo 4
Como a integral converge (vale 1 e é finita), a série sumn=1^inftyln nn^2 converge por teste da integral.