Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty n !e^n^2

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n!e^n^2. Vamos analisar a convergência usando o teste da razão (também chamado de teste de D’Alembert), que é uma ferramenta eficiente quando envolvemos fatoriais e exponenciais.

Passo 2

Definimos o termo geral an = n!e^n^2. No teste da razão, precisamos calcular limntoinfty an+1an.

Passo 3

Calculamos a razão e seu limite:
limntoinfty an+1an = limntoinfty (n+1)!/e^(n+1)^2n!/e^n^2 = limntoinfty n+1e^2n+1 = 0
Como o resultado é 0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Passo 4

Pelo teste da razão, um limite menor que 1 implica convergência absoluta. Portanto, a série sumn=1^infty n!e^n^2 é convergente.

Resposta

A série converge absolutamente.

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