Num teste educacional, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comprado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera T, tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
f(t)=lr 140(t-4), & 8 <= t<10 320, & 10 <= t <= 15
Verifique que a função f(t) satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada F(t) e calcule:
Obs.: responda utilizando 4 casas decimais.
b) E(T)=

Passo 1

Beleza, o exercício fala de uma v.a. contínua f(t)= dfrac140,(t-4),&8<= t<10,[6pt] dfrac320,&10<= t<=15,[3pt] 0,&caso contrário com densidade
á
O conteúdo envolve:
  • Verificar se (propriedade de densidade).
  • Achar a função de distribuição acumulada .
  • Calcular o valor esperado .
    Vamos precisar de integrais básicas e das definições de CDF e esperança.

Passo 2

Verificando se integral8^10t-440,dt =140l[t^22-4tr]8^10 =140l[(50-40)-(32-32)r] =1040=0.25 :
  1. De 8 a 10:
integral10^15320,dt =320,(15-10) =320times5=0.75
  1. De 10 a 15:
Somando . Então tá tudo certo, é uma densidade válida.

Passo 3

Calculando a CDF F(t)=integral8^tu-440,du =140l[u^22-4ur]8^t =t^2/2-4t-040 =t^2-8t80 , em cada intervalo:
a) F(t)=0.25+integral10^t320,du =0.25+320(t-10) =3t-2520 :
b) :
c) :
Primeiro .
Depois:
d) : .

Passo 4

Agora integral8^10tcdott-440,dt =140integral8^10(t^2-4t),dt =140l[t^33-2t^2r]8^10 =140l(4003-1283r) =272/340 =3415approx2.2667 , ou seja só somar as duas parcelas:
  1. De 8 a 10:
integral10^15tcdot320,dt =320integral10^15t,dt =320l[t^22r]10^15 =340(225-100) =37540=9.3750
  1. De 10 a 15:
E(T)=2.2667+9.3750=11.6417
Somando as duas partes:

Resposta

(arredondado em 4 casas decimais)

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