Num teste educacional, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comprado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera , tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
Verifique que a função satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada e calcule:
Obs.: responda utilizando 4 casas decimais.
b)
Passo 1
Beleza, o exercício fala de uma v.a. contínua com densidade
O conteúdo envolve:
Verificar se (propriedade de densidade).
Achar a função de distribuição acumulada .
Calcular o valor esperado .
Vamos precisar de integrais básicas e das definições de CDF e esperança.
Passo 2
Verificando se integral8^10t-440,dt =140l[t^22-4tr]8^10 =140l[(50-40)-(32-32)r] =1040=0.25 :
De 8 a 10:
integral10^15320,dt =320,(15-10) =320times5=0.75
De 10 a 15:
Somando . Então tá tudo certo, é uma densidade válida.
Passo 3
Calculando a CDF F(t)=integral8^tu-440,du =140l[u^22-4ur]8^t =t^2/2-4t-040 =t^2-8t80 , em cada intervalo:
a) F(t)=0.25+integral10^t320,du =0.25+320(t-10) =3t-2520 :
b) :
c) :
Primeiro .
Depois:
d) : .
Passo 4
Agora integral8^10tcdott-440,dt =140integral8^10(t^2-4t),dt =140l[t^33-2t^2r]8^10 =140l(4003-1283r) =272/340 =3415approx2.2667 , ou seja só somar as duas parcelas: