teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
2 x e^{2 t} d t+\left(1+e^{2 t}\right) d x=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
2 x e^{2 t}\,dt + \left(1+e^{2 t}\right)\,dx = 0
e pede para testar se ela é exata e, se for, resolver.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
M(t,x)=2 x e^{2 t}\quad\text{(multiplicando }dt\text{)}
N(t,x)=1+e^{2 t}\quad\text{(multiplicando }dx\text{)}
Perguntas que vamos responder: a equação é exata? Se sim, encontrar a solução geral (implícita ou explícita).

Passo 2

O que significa “exata” e como testar — mini-aula rápida e prática:
Uma equação diferencial da forma
M(t,x)\,dt + N(t,x)\,dx = 0
é exata se existe uma função potencial \Phi(t,x) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M\quad\text{e}\quad\frac{\partial \Phi}{\partial x}=N.
Uma condição prática para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Se essa igualdade vale numa região, a equação é exata nessa região. A intuição: M\,dt+N\,dx é o diferencial exato d\Phi.

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso caso:
Identificamos M e N no Passo 1. Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(2 x e^{2 t}\right)=2 e^{2 t},
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\!\left(1+e^{2 t}\right)=2 e^{2 t}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial x}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=2 e^{2 t}, a equação é exata. Bom sinal — vamos resolver!

Passo 4

Método para resolver uma equação exata — explicação e aplicação:
Seja \Phi(t,x) tal que d\Phi = M\,dt + N\,dx. Começamos integrando M em relação a t (tratando x como constante):
\Phi(t,x)=\int M(t,x)\,dt=\int 2 x e^{2 t}\,dt.
Calcule a integral: x é constante no integral, e \int 2 e^{2t}\,dt = e^{2t}. Logo
\Phi(t,x)=x e^{2 t} + h(x),
onde h(x) é uma “constante” de integração que pode depender de x (porque integramos em t).

Passo 5

Determinar h(x) impondo \Phi_x = N — detalhe passo a passo:
Diferenciamos \Phi(t,x)=x e^{2 t} + h(x) em relação a x:
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=e^{2 t} + h'(x).
Mas sabemos que \Phi_x deve ser igual a N(t,x)=1+e^{2 t}. Assim
e^{2 t} + h'(x)=1+e^{2 t}.
Subtraindo e^{2 t} dos dois lados obtemos
h'(x)=1.
Integrando em x,
h(x)=x + C_0,
onde C_0 é constante.

Passo 6

Escrever a função potencial completa e obter a solução geral:
Substituindo h(x) em \Phi temos
\Phi(t,x)=x e^{2 t} + x + C_0.
A condição d\Phi=0 (ou a solução implícita da eq. exata) é \Phi(t,x)=\text{constante}. Reagrupando e absorvendo C_0 em uma constante geral C, obtemos a solução implícita
x e^{2 t} + x = C,
ou de forma fatorada
x\bigl(1+e^{2 t}\bigr)=C.
Podemos isolar x explicitamente:
x(t)=\frac{C}{1+e^{2 t}}.
Se quiser checar rapidamente, pode derivar essa x(t) e verificar que satisfaz a equação original — isso confirma que não cometemos erro.

Resposta

x(1+e^{2t})=C
x=\dfrac{C}{1+e^{2t}}

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