teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
2 x e^{2 t} d t+\left(1+e^{2 t}\right) d x=0
2 x e^{2 t} d t+\left(1+e^{2 t}\right) d x=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para testar se ela é exata e, se for, resolver.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Perguntas que vamos responder: a equação é exata? Se sim, encontrar a solução geral (implícita ou explícita).
Passo 2
O que significa “exata” e como testar — mini-aula rápida e prática:
Uma equação diferencial da forma
Uma equação diferencial da forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Uma condição prática para testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é verificar se
Se essa igualdade vale numa região, a equação é exata nessa região. A intuição:
é o diferencial exato
.
Passo 3
Aplicando o teste ao nosso caso:
Identificamos e
no Passo 1. Calculamos as derivadas parciais:
Identificamos
Como
, a equação é exata. Bom sinal — vamos resolver!
Passo 4
Método para resolver uma equação exata — explicação e aplicação:
Seja tal que
. Começamos integrando
em relação a
(tratando
como constante):
Seja
Calcule a integral:
é constante no integral, e
. Logo
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque integramos em
).
Passo 5
Determinar
impondo
— detalhe passo a passo:
Diferenciamos em relação a
:
Diferenciamos
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Integrando em
,
onde
é constante.
Passo 6
Escrever a função potencial completa e obter a solução geral:
Substituindo em
temos
Substituindo
A condição
(ou a solução implícita da eq. exata) é
. Reagrupando e absorvendo
em uma constante geral
, obtemos a solução implícita
ou de forma fatorada
Podemos isolar
explicitamente:
Se quiser checar rapidamente, pode derivar essa
e verificar que satisfaz a equação original — isso confirma que não cometemos erro.