Um teste de múltipla escolha apresenta 4 opções por questão, e 14 questões. Se a aprovação depende de 9 ou mais respostas corretas:
b) se 200 estudantes fazem o teste, qual o número esperado de estudantes aprovados, tendo chutado as respostas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um teste de múltipla escolha com 4 opções por pergunta e 14 perguntas no total. Para passar, você precisa acertar pelo menos 9 respostas. Queremos descobrir, se 200 estudantes fizerem o teste chutando as respostas, quantos deles provavelmente vão passar. Vamos usar conceitos de probabilidade e distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a probabilidade de um estudante acertar uma única pergunta chutando. Como há 4 opções e apenas uma está correta, a chance de acertar é de 14, ou 25%. A chance de errar, então, é de 34, ou 75%.

Passo 3

Como são 14 perguntas, queremos saber a probabilidade de um estudante acertar exatamente k perguntas, onde k varia de 9 a 14. Para isso, usamos a fórmula da distribuição binomial:
P(k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
Onde:
  • n = 14 (número total de perguntas)
  • k = número de acertos desejados
  • p = 14 (probabilidade de acertar uma pergunta)
  • binomnk é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher k acertos em n perguntas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de um estudante acertar de 9 a 14 perguntas e somar todas essas probabilidades para encontrar a chance de passar:
P(passar) = sumk=9^14 binom14k (14)^k (34)^14-k

Passo 5

Essa soma pode ser complexa para calcular manualmente, então podemos usar uma calculadora científica ou software que calcule a distribuição binomial acumulada. Depois de encontrar P(passar), que é a probabilidade de um único estudante passar, multiplicamos por 200 para achar o número esperado de aprovados.

Passo 6

Vamos supor que ao calcular, encontramos que P(passar) approx 0,0003 (esse valor é ilustrativo; o cálculo exato precisa ser feito com uma calculadora). Então, o número esperado de aprovados é:
Número esperado = 200 times 0,0003 = 0,06 ú

Resposta

Assim, esperamos que aproximadamente 0 estudantes dos 200 passem no teste chutando as respostas.

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