Verifique que função f: R^2 R
f(x)=cc x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
Precisamos mostrar que . Para isso, vamos calcular as derivadas parciais em e aplicar a definição de diferenciabilidade, vendo que o termo de erro não é .]

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em (0,0).
fx(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0h^3h^2-0h =limhto0hh =1
fy(0,0) =limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k =0
Logo, o candidato a aproximação linear é L(h,k)=1cdot h+0cdot k=h.

Passo 3

Por definição, f seria diferenciável em (0,0) se
lim(h,k)to(0,0) f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)raizh^2+k^2 =0
Aqui definimos o resto da aproximação por
R(h,k)=f(h,k)-h

Passo 4

Escolhemos a reta y=x, isto é (h,k)=(t,t). Então
f(t,t)=t^3t^2+t^2=t2, R(t,t)=t2-t=-t2, raizt^2+t^2=|t|raiz2,
e
R(t,t)raizt^2+t^2 =-tfract2|t|raiz2 =-12raiz2 neq0
Como esse quociente não tende a zero, a condição de diferenciabilidade falha.

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0).

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