Teste a série para convergência ou divergência:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k} \frac{2 k}{4 k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2k}{4k^{2}+1}
converge ou diverge. As informações dadas são:
  • O termo geral da série é (-1)^{k}\frac{2k}{4k^{2}+1}.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{k}.
  • Queremos saber se a série converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge.

Passo 2

Separei o termo geral em sinal e módulo para analisar melhor:
  • Defino b_{k}=\frac{2k}{4k^{2}+1}. Observação: b_{k}>0 para todo k\ge 1.
  • Assim o termo geral pode ser escrito como (-1)^{k}b_{k}.
    Para aplicar testes, preciso verificar duas coisas importantes para séries alternadas:
  1. \lim_{k\to\infty} b_{k}=0.
  2. A sequência (b_{k}) é monotonicamente decrescente (ou pelo menos eventualmente decrescente).

Passo 3

Verifico primeiro o limite de b_{k}. Calculo
\lim_{k\to\infty} b_{k}=\lim_{k\to\infty}\frac{2k}{4k^{2}+1}.
Fatorando k no numerador e k^{2} no denominador para ver a ordem:
\frac{2k}{4k^{2}+1}=\frac{2}{4k+\tfrac{1}{k}}.
Quando k\to\infty temos 4k+\tfrac{1}{k}\to\infty, logo
\lim_{k\to\infty} b_{k}=0.
Portanto a primeira condição (tende a zero) está satisfeita.

Passo 4

Agora preciso mostrar que b_{k} é decrescente para k\ge 1 (ou pelo menos a partir de algum k). Uma maneira direta é estudar a função contínua que estende b_{k}:
f(x)=\frac{2x}{4x^{2}+1},\qquad x>0,
e calcular sua derivada. Calculo f'(x) usando a regra do quociente:
f'(x)=\frac{2(4x^{2}+1)-2x(8x)}{(4x^{2}+1)^{2}}.
Simplificando o numerador:
2(4x^{2}+1)-2x(8x)=8x^{2}+2-16x^{2}=2(1-4x^{2}).
Portanto
f'(x)=\frac{2(1-4x^{2})}{(4x^{2}+1)^{2}}.
Para x\ge 1 temos 1-4x^{2}\le 1-4=-3<0, e o denominador é positivo; assim f'(x)<0 para todo x\ge 1. Isso mostra que f é decrescente em [1,\infty), logo a sequência b_{k}=f(k) é decrescente para k\ge 1.

Passo 5

Tendo verificado que:
  • b_{k}>0 para todo k,
  • \lim_{k\to\infty} b_{k}=0,
  • b_{k} é decrescente a partir de k=1,
    posso aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada): se (b_{k}) é uma sequência decrescente que tende a zero, então a série \sum (-1)^{k} b_{k} converge. Concluo que a série dada converge.

Passo 6

Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Para isso considero a série das normas dos termos:
\sum_{k=1}^{\infty} |(-1)^{k}\tfrac{2k}{4k^{2}+1}|=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{4k^{2}+1}=\sum_{k=1}^{\infty} b_{k}.
Comparo b_{k} com uma série harmônica. Para k\ge 1 temos 4k^{2}+1\le 5k^{2} (pois 5k^{2}-(4k^{2}+1)=k^{2}-1\ge 0), então
b_{k}=\frac{2k}{4k^{2}+1}\ge \frac{2k}{5k^{2}}=\frac{2}{5k}.
Como \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{5k}=\tfrac{2}{5}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} é uma constante vezes a série harmônica, ela diverge. Pelo critério da comparação por limite ou desigualdade direta, como b_{k}\ge \tfrac{2}{5k} e a série dos termos à direita diverge, segue que \sum b_{k} diverge. Portanto a série das normas diverge e a série original não é absolutamente convergente.

Passo 7

Juntando as conclusões:
  • A série alternada \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k}\frac{2k}{4k^{2}+1} converge pelo Teste de Leibniz.
  • A série não converge absolutamente, pois \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k}{4k^{2}+1} diverge por comparação com a harmônica.
    Logo a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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