Teste a série para convergência ou divergência:
Passo 1
O enunciado pede para testar se a série
converge ou diverge. As informações dadas são:
- O termo geral da série é
. - A série é alternada por causa do fator
. - Queremos saber se a série converge (condicionalmente ou absolutamente) ou diverge.
Passo 2
Separei o termo geral em sinal e módulo para analisar melhor:
- Defino
. Observação: para todo . - Assim o termo geral pode ser escrito como
.
Para aplicar testes, preciso verificar duas coisas importantes para séries alternadas:
-
. - A sequência
é monotonicamente decrescente (ou pelo menos eventualmente decrescente).
Passo 3
Verifico primeiro o limite de
. Calculo
Fatorando
no numerador e
no denominador para ver a ordem:
Quando
temos
, logo
Portanto a primeira condição (tende a zero) está satisfeita.
Passo 4
Agora preciso mostrar que
é decrescente para
(ou pelo menos a partir de algum
). Uma maneira direta é estudar a função contínua que estende
:
e calcular sua derivada. Calculo
usando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Portanto
Para
temos
, e o denominador é positivo; assim
para todo
. Isso mostra que
é decrescente em
, logo a sequência
é decrescente para
.
Passo 5
Tendo verificado que:
-
para todo , -
, -
é decrescente a partir de ,
posso aplicar o Teste de Leibniz (teste da série alternada): seé uma sequência decrescente que tende a zero, então a série converge. Concluo que a série dada converge.
Passo 6
Agora verifico se a convergência é absoluta ou apenas condicional. Para isso considero a série das normas dos termos:
Comparo
com uma série harmônica. Para
temos
(pois
), então
Como
é uma constante vezes a série harmônica, ela diverge. Pelo critério da comparação por limite ou desigualdade direta, como
e a série dos termos à direita diverge, segue que
diverge. Portanto a série das normas diverge e a série original não é absolutamente convergente.
Passo 7
Juntando as conclusões:
- A série alternada
converge pelo Teste de Leibniz. - A série não converge absolutamente, pois
diverge por comparação com a harmônica.
Logo a convergência é condicional.
Resposta
A série converge condicionalmente.